Day8 线性代数

矩阵！矩阵！矩阵！

[ABC189E] Rotate and Flip

SOL1：

设每个点坐标 $(ax+by+c,dx+ey+f)$，每次转移系数即可。代码

SOL2：

考虑矩阵形式，每次改变对应一个转移矩阵，例如关于 $x=p$ 对称： [ x y 1 ] [ − 1 0 0 0 1 0 2 p 0 1 ] = [ 2 p − x y 1 ] \begin{bmatrix} x & y & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 2p & 0 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2p-x & y & 1 \end{bmatrix} [x​y​1​] ​−102p​010​001​ ​=[2p−x​y​1​]

一个一个乘即可。

[ARC138D] Differ by K bits

无解时暴搜复杂度较高，有解时爆搜情况比较少。由于关系成环，不妨设 $a_1=0$。

• $k\ge n$ 时，显然无解。

• 当 $k\equiv 0\mathrm{mod}2$ 时，选择的数只能有偶数个 $1$，无法构造序列。

特判之后就是暴搜。

代码

CF1662C European Trip

先考虑没有不能重复走相临边的限制，是个矩阵问题。记邻接矩阵为 $G$ ， $G_{i,i}^k$ 就是 $i$ 出发的方案，答案就是 $\sum G_{i,i}^k$。

参考上述情况，我们记答案矩阵为 $F_k$ 表示 $k$ 走步的合法方案数。

有：
$$F_1=G$$

对于 $F_2$，应当为 $G^2$ 减去重复走的方案数。只走两步，重复走的一定是自己到自己。对于一个点 $i$，有 $\mathrm{deg}(i)$ 种重复方案。记 $D$ 为度数矩阵，其中 $D_{i,i}=\mathrm{deg}(i)$，有：

$$F_2=G^2-D$$

对于 $F_i(i\ge 3)$，可以先写成一般 dp 形式，记 $f_i(x,y)$ 表示 $i$ 步 从 $x$ 到 $y$ 的合法方案。有：

$$f_i(x,y)=\sum _{z=1}^n(f_{i-1}(x,z)\times G_{z,y})-f_{i-2}(x,y)\times (\mathrm{deg}(y)-1)$$

用前 $i-1$ 步合法的方案数，减去第 $i$ 步与 $i-1$ 步相同的方案数，即这两步从 $y$ 到 $y$，去除 $i-2$ 步走到 $y$ 的那条边，这两步有 $(\mathrm{deg}(y)-1)$ 种走法。

考虑矩阵形式，记 $E=D-I$，即度数数矩阵减去一个单位矩阵，$E_{i,i}=\mathrm{deg}(i)-1$，有：

$$F_i=F_{i-1}G-F_{i-2}E$$

整理得：

$$F_i=\{\begin{array}{ll}G& i=1\\ G^2-D& i=2\\ F_i=F_{i-1}G-F_{i-2}E& i\ge 3\end{array}$$

$F$ 构成了广义斐波那契数列的形式，可以用矩阵快速幂加速 $F$ 的转移：

$\left[\begin{array}{cc}{F}_i& F_{i-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{F}_{i-1}& F_{i-2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}G& I\\ -E& 0\end{array}\right]=...=\left[\begin{array}{cc}{G}^2-D& G\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}G& I\\ -E& 0\end{array}\right]}^{i-2}$。

关于时间复杂度，理论上 $\log k$ 次矩阵快速幂，每次 $O(8\times n^3)$，总 $O(8\cdot n^3\log k)$。由于我用的结构体套结构体，非常的慢，矩乘手动展开才过。代码