乘法逆元超详解
目录
一，模运算的性质
二，除法的模运算？
1.除法模运算
2.解决除法模运算问题
三，乘法逆元的性质
1，乘法逆元总存在吗？
2.什么时候一定存在乘法逆元
三，求乘法逆元
1.费马小定理
1.1 C++ 由费马小定理求乘法逆元（p为质数时）
输入输出样例
2.扩展欧几里得算法
2.1 求逆元代码
3.线性求逆元
3.1 求逆元
3.乘法逆元应用
一，模运算的性质
1. (a+b)%p=(a%p+b%p)%p
2. (a-b)%p=(a%p-b%p)%p
注意：(9-7)%8=(9%8-7%8)%8=-6 ;不是我们要的值，这时要加上p,改为：
3. (a-b)%p=（ (a%p-b%p) % p + p ）%p
4. (a*b)%p=((a%p)*(b%p))%p
二，除法的模运算？
1.除法模运算
(a/b)%p=(a%p)/(b%p) ,如果我们保证可以整除，它是否成立呢？
取a=8,b=2,p=6; 左式=4，右式=1；也就是说 除法的模运算不一定成立。
2.解决除法模运算问题
能否将除法转化为乘法？找到 binv ,使得 （a/b）%p==(a*binv)%p ；若能，则称 binv 为 b在模p意义下 的乘法逆元 ；
三，乘法逆元的性质
(1) 设 ( a / b )
x ( mod p) ； 即 (a / b ) %p=x % p ;
(2) 设存在 b
，满足 a*bx ( mod p)
(1)*b : a bx ( mod p) ……（3）
(2)*b : a*b *b bx ( mod p ) ……（4）
(4)-(3) : a*( b *b -1 ) 0 ( mod p ) ……(5)
因为我们在找b的乘法逆元，而 a 是任意的数 ，所以为了使 (5) 恒成立，则 ( b *b -1 )0
即 b * b 1 （ mod p）; 此时 binv 就是 b在模p意义下 的乘法逆元 ；
1，乘法逆元总存在吗？
对于 b * b 1 （ mod p），是否总存在 这样的 b ?
取 b=2,p=10 则 2 * b1 （ mod 10） ，即不存在。
2.什么时候一定存在乘法逆元
若存在乘法逆元，则必满足 b * b 1 （ mod p）；
则设 b * b k*p + 1 ……（1）;
设g为b,p的最大公约数，即 g = gcd ( b , p ) ……（2）;
则 g* b * b g*k*p + 1 ……（3）；
g( b * b-k*p)=1……（4） 我们是在整数范围讨论的，所以 （4）式成立当且仅当
g=1 && b * b-k*p =1
结论： 乘法逆元存在当且仅当 b与p互质
三，求乘法逆元
1.费马小定理
（1）…… b * b 1 （ mod p）
（2）……费马小定理：若 p 为质数， 则 a
1 ( mod p) ;
由 （2）得： a*a
1 ( mod p) ;
则 结合（1）有 b= b 满足 (1)式；
1.1 C++ 由费马小定理求乘法逆元（p为质数时）
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
ll fast_pow(ll a, ll b, ll p)//快数幂算法
{
ll ans = 1;
a %= p;
while (b)
{
if (b & 1)
{
ans = (ans * a) % p;
}
a = (a * a) % p;
b >>= 1;
}
return ans;
}
ll get_inv(ll x, ll p)
{
return fast_pow(x, p - 2, p);
}
int main()
{
ll x, p;
cin >> x >> p;
for (int i = 1; i <= x; i++)
{
cout< 输入格式：
一行n,p
输出格式：
n行,第i行表示i在模p意义下的逆元。
输入输出样例
输入样例#1：
10 13
输出样例#1：
1 7 9 10 8 11 2 5 3 4
2.扩展欧几里得算法
（1）扩展欧几里得算法：求 ax+by=gcd(a,b) ……（1）的一组 x,y；
（2） 求a 在模 p 意义下的乘法逆元 ：（这里改求 a 防止字符混淆）
a*a1 ( mod p ) ……（2）
由（2） 得： a*a+p*y=1 ……（3）
已知a , p 互质，即 gad(a,p)=1 ……（4）
（3），（4）得 a*a+p*y=gcd(a,b)=1 ，对照欧几里得公式，得 不需要 p为质数，但要求 a , p互质，即乘法逆元存在即可。
2.1 求逆元代码
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
void exgcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y)
{
if (b == 0)
{
x = 1;
y = 0;
return;
}
exgcd(b, a % b, y, x);
y -= (a / b) * x;
}
ll get_inv(ll a, ll p)
{
ll x = 1, y = 0;
exgcd(a, p, x, y);
return (x % p + p) % p;//防止出现负数
}
int main()
{
ll a, p;
cin >> a >> p;
for (int i = 1; i <= a; i++)
{
cout< 3.线性求逆元
（1）求1~n 依次在模p意义下得逆元;
（2）题目保证 p 为质数， 且 p>n;
（3）上述两种方法略慢，因为需要对每一个数求逆元
（1）对于一个数。由于 p>x。设 p = kx + r, k = ![\left [ \frac{p}{r} \right ]](http://img.e-com-net.com/image/info8/b68ab5898c1346288547519fecd4c055.png){kind=small}
, r = p % x ;
（2）在模 p 的意义下：
kx + r 0 ( mod p ) 
kx -r ( mod p ) k * r * x -1 -x * x
( mod p )
x* 
-x * x ( mod p )
r*k*x= -x * x ( mod p )
x -k * r
( mod p )
这里我们得到一个递推式，如果知道 r 的值 ，我们就能得到 x 的值。
根据假设， r = p % x 先被求出。即求 x 时已经知道 r 的值。
注意到若按等式处理，满足等式的 x 应为负数？不是的 ，我们做一下变化
x ( -k * r ( mod p ) + p ) % p
3.1 求逆元
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 2e5;
int n, p;
int inv[MAXN];
void niyuan(int n)
{
inv[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
inv[i] = -(p / i) * inv[p % i]; //x_inv= -k * r_inv ;
inv[i] = (inv[i] % p + p) % p;
}
}
void printNiyuan(int n)
{
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cout << inv[i] << " ";
}
}
int main()
{
cin >> n >> p;
niyuan(n);
printNiyuan(n);
} 3.乘法逆元应用
适用于很大的数的乘积，最后的值的 p取模输出，例如求排列组合的个数