乘法逆元超详解

目录

一，模运算的性质

二，除法的模运算？

        1.除法模运算

        2.解决除法模运算问题

三，乘法逆元的性质

         1，乘法逆元总存在吗？

        2.什么时候一定存在乘法逆元

 三，求乘法逆元

         1.费马小定理

        1.1 C++ 由费马小定理求乘法逆元（p为质数时）

输入输出样例

        2.扩展欧几里得算法

        2.1 求逆元代码

        3.线性求逆元

        3.1 求逆元

3.乘法逆元应用

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一，模运算的性质

      1.  (a+b)%p=(a%p+b%p)%p

      2.  (a-b)%p=(a%p-b%p)%p

注意：(9-7)%8=(9%8-7%8)%8=-6 ;不是我们要的值，这时要加上p,改为：

      3.  (a-b)%p=（ (a%p-b%p) % p + p ）%p

      4.  (a*b)%p=((a%p)*(b%p))%p

二，除法的模运算？

        1.除法模运算

        (a/b)%p=(a%p)/(b%p) ,如果我们保证可以整除，它是否成立呢？

取a=8,b=2,p=6; 左式=4，右式=1；也就是说 除法的模运算不一定成立。

        2.解决除法模运算问题

        能否将除法转化为乘法？找到 binv ,使得 （a/b）%p==(a*binv)%p ；若能，则称 binv 为 b在模p意义下 的乘法逆元 ；

三，乘法逆元的性质

        (1) 设 ( a / b ) x ( mod p) ； 即 (a / b ) %p=x % p ;

        (2) 设存在 b ，满足 a*bx ( mod p) 

        (1)*b :  a  bx ( mod p) ……（3）

        (2)*b :   a*b *b   bx ( mod p ) ……（4）

        (4)-(3) :  a*( b *b -1  )  0 ( mod p ) ……(5)

        因为我们在找b的乘法逆元，而 a 是任意的数 ，所以为了使 (5) 恒成立，则 ( b *b -1  )0

即   b * b 1 （ mod p）; 此时 binv 就是 b在模p意义下 的乘法逆元 ；

         1，乘法逆元总存在吗？

        对于  b * b 1 （ mod p），是否总存在 这样的 b ?

        取 b=2,p=10 则 2 * b1 （ mod 10） ，即不存在。

        2.什么时候一定存在乘法逆元

        若存在乘法逆元，则必满足  b * b 1 （ mod p）；

则设 b * b  k*p + 1 ……（1）;

设g为b,p的最大公约数，即 g = gcd ( b , p ) ……（2）;

    则 g* b * b  g*k*p + 1 ……（3）；

        g( b * b-k*p)=1……（4） 我们是在整数范围讨论的，所以 （4）式成立当且仅当

        g=1 &&   b * b-k*p =1

 结论： 乘法逆元存在当且仅当 b与p互质

 三，求乘法逆元

         1.费马小定理

        （1）…… b * b 1 （ mod p）

        （2）……费马小定理：若 p 为质数， 则 a1 ( mod p) ;

由 （2）得： a*a  1 ( mod p) ;

则 结合（1）有  b= b 满足 (1)式； 

        1.1 C++ 由费马小定理求乘法逆元（p为质数时）

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
ll fast_pow(ll a, ll b, ll p)//快数幂算法
{
	ll ans = 1;
	a %= p;
	while (b)
	{
		if (b & 1)
		{
			ans = (ans * a) % p;
		}
		a = (a * a) % p;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}

ll get_inv(ll x, ll p)
{
	return fast_pow(x, p - 2, p);
}
int main()
{
	ll x, p;
	cin >> x >> p;
	for (int i = 1; i <= x; i++)
	{
		cout<

输入格式：

一行n,p

输出格式：

n行,第i行表示i在模p意义下的逆元。

输入输出样例

输入样例#1： 

10 13

输出样例#1：

1
7
9
10
8
11
2
5
3
4

        2.扩展欧几里得算法

（1）扩展欧几里得算法：求 ax+by=gcd(a,b) ……（1）的一组 x,y；

（2） 求a 在模 p 意义下的乘法逆元 ：（这里改求 a 防止字符混淆）

                      a*a1 ( mod p )       ……（2）

由（2） 得： a*a+p*y=1 ……（3）

已知a , p 互质，即 gad(a,p)=1 ……（4）

（3），（4）得  a*a+p*y=gcd(a,b)=1 ，对照欧几里得公式，得 不需要 p为质数，但要求 a , p互质，即乘法逆元存在即可。

        2.1 求逆元代码

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
void exgcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y)

{
	if (b == 0)
	{
		x = 1;
		y = 0;
		return;
	}
	 exgcd(b, a % b, y, x);
	y -= (a / b) * x;
}

ll get_inv(ll a, ll p)
{
	ll x = 1, y = 0;
	exgcd(a, p, x, y);
	return (x % p + p) % p;//防止出现负数
}
int main()
{
	ll a, p;
	cin >> a >> p;
	for (int i = 1; i <= a; i++)
	{
		cout<

        3.线性求逆元

（1）求1~n 依次在模p意义下得逆元;

（2）题目保证 p 为质数， 且 p>n;

（3）上述两种方法略慢，因为需要对每一个数求逆元

        （1）对于一个数。由于 p>x。设 p = kx + r, k = , r = p % x ;

        （2）在模 p 的意义下：

kx + r  0 ( mod p )    kx  -r ( mod p )  k * r * x  -1   -x * x ( mod p )

  x*    -x * x ( mod p )

r*k*x= -x * x ( mod p )

x -k * r  ( mod p )

         这里我们得到一个递推式，如果知道 r 的值 ，我们就能得到 x 的值。

根据假设， r = p % x  一定比 x 先被求出。即求 x 时已经知道 r 的值。

注意到若按等式处理，满足等式的 x 应为负数？不是的 ，我们做一下变化

 x ( -k * r  ( mod p ) + p ) % p 

        3.1 求逆元

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 2e5;
int n, p;
int inv[MAXN];
void niyuan(int n)
{
	inv[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		inv[i] = -(p / i) * inv[p % i]; //x_inv= -k * r_inv ;
		inv[i] = (inv[i] % p + p) % p;
	}
}
void printNiyuan(int n)
{
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cout << inv[i] << " ";
	}
}
int main()
{

	cin >> n >> p;
	niyuan(n);
	printNiyuan(n);


}

3.乘法逆元应用

适用于很大的数的乘积，最后的值的 p取模输出，例如求排列组合的个数