《数据结构与算法之美》学习笔记-复杂度分析

1. 什么是复杂度分析？

• 数据结构和算法本身解决的是“快”和“省”的问题，即如何让代码运行得更快，如何让代码更省存储空间。
• 执行效率是算法一个非常重要的考量指标。使用执行时间和占用空间两个维度来评估数据结构和算法的性能。
• 分别用时间复杂度和空间复杂度两个概念来描述性能问题，二者统称为复杂度。
• 复杂度描述的是算法执行时间（或占用空间）与数据规模的增长关系。

2. 为什么要进行复杂度分析？

• 和性能测试相比，复杂度分析有不依赖执行环境、成本低、效率高、易操作、指导性强的特点。
• 掌握复杂度分析，将能编写出性能更优的代码，有利于降低系统开发和维护成本。

3. 如何进行复杂度分析？

3.1. 大O表示法

• 来源
  算法的执行时间与每行代码的执行次数成正比，用 T(n) = O(f(n)) 表示，其中 T(n) 表示算法执行总时间，f(n) 表示每行代码执行总次数，而 n 往往表示数据的规模。
• 特点
  以时间复杂度为例，由于时间复杂度描述的是算法执行时间与数据规模的增长变化趋势，所以常量阶、低阶以及系数实际上对这种增长趋势不产决定性影响，所以在做时间复杂度分析时忽略这些项。

3.2. 复杂度分析法则

a）单段代码看高频：比如循环。
b）多段代码取最大：比如一段代码中有单循环和多重循环，那么取多重循环的复杂度。
c）嵌套代码求乘积：比如递归、多重循环等
d）多个规模求加法：比如方法有两个参数控制两个循环的次数，那么这时就取二者复杂度相加。

4. 常用的复杂度级别？

• 多项式阶：随着数据规模的增长，算法的执行时间和空间占用，按照多项式的比例增长。包括，
  O(1)（常数阶）、O(logn)（对数阶）、O(n)（线性阶）、O(nlogn)（线性对数阶）、O(n^2)（平方阶）、O(n^3)（立方阶）
• 非多项式阶：随着数据规模的增长，算法的执行时间和空间占用暴增，这类算法性能极差。包括，
  O(2^n)（指数阶）、O(n!)（阶乘阶）

5. 复杂度分析的4个概念

• 最坏情况时间复杂度：代码在最理想情况下执行的时间复杂度。
• 最好情况时间复杂度：代码在最坏情况下执行的时间复杂度。
• 平均时间复杂度：用代码在所有情况下执行的次数的加权平均值表示。
• 均摊时间复杂度：在代码执行的所有复杂度情况中绝大部分是低级别的复杂度，个别情况是高级别复杂度且发生具有时序关系时，可以将个别高级别复杂度均摊到低级别复杂度上。基本上均摊结果就等于低级别复杂度。

6. 为什么要引入这4个概念？

• 同一段代码在不同情况下时间复杂度会出现量级差异，为了更全面，更准确的描述代码的时间复杂度，所以引入这4个概念。
• 代码复杂度在不同情况下出现量级差别时才需要区别这四种复杂度。大多数情况下，是不需要区别分析它们的。

7. 如何分析平均、均摊时间复杂度？

7.1. 平均时间复杂度

代码在不同情况下复杂度出现量级差别，则用代码所有可能情况下执行次数的加权平均值表示。

7.2. 均摊时间复杂度

两个条件满足时使用：

• 代码在绝大多数情况下是低级别复杂度，只有极少数情况是高级别复杂度；
• 低级别和高级别复杂度出现具有时序规律，均摊结果一般都等于低级别复杂度。

8. 如何掌握好复杂度分析方法？

关键在于多练，所谓孰能生巧。

03-复杂度分析（上）：如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗？
04-复杂度分析（下）：浅析最好、最坏、平均、均摊时间复杂度