线代--零空间的基 与 秩-零度化定理

零空间是对于一个矩阵，满足线性系统，所有的解组成的向量空间。由于矩阵零空间本身隐藏在矩阵的内部，所以它的存在相对抽象。

构造零空间的基

构造一个矩阵的零空间的基，本质是对求出线性系统的解空间进行简单变形，从而得到零空间的基。

• 示例说明：
  存在矩阵A，通过高斯消元求取它的行最简形式:
  
  
  从系数矩阵A 的行最简形式得到线性系统的解的形式如下:
  
  
  这个解的形式显示了组成线性系统的任意一个解的内部分量所存在的线性关系，和这两个分量可以由其它四个分量的线性组合所表示。将所有解改写成列向量形式:
  
  
  从解的列向量形式可以看到对分量取任意实数，就可以得到线性系统的所有解空间的其中一组解，这个解可通过单独提出分量拆分成以下形式的线性组合进行表示:
  
  
  拆分后得到的四个线性无关的向量，通过这四个向量的线性组合就可以表示出线性系统的解，意味着线性系统的解构成的空间就是向量的生成空间，也就是系线性系统系数矩阵的零空间。由空间的基的定义(给定维空间的一组基，则空间中的任意一个向量都可以表示成这组基的线性组合)可知，这个四个线性无关向量就是它们生成空间的基，也是线性系统系数矩阵的零空间的基，这个空间的维度就是。

综上，对于线性系统，把系数矩阵化为行最简形式之后，自由列的列数就是矩阵A的零空间的维度:

矩阵的行最简形式的一般形式

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秩-零度化定理

对于一个的矩阵有，将其化为行最简形式后，主元列数为其列空间的维度，也就是矩阵的秩，同时也是矩阵行空间的维度。当求出矩阵的主元列列数，则矩阵的自由列列数(也就是矩阵的零空间的维度)等于。就有 。

列空间的维度也就是矩阵的秩，零空间的维度的专业名词叫做

零空间的维度为0

零空间的维度等于一个矩阵的行最简形式中自由列的个数，当一矩阵全部都是主元列的时候，也就是一个的矩阵的列空间的维度为的时候，矩阵的零空间维度为0。对于一个方阵来说，即为满秩的时候，矩阵的零空间维度为0

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理解上一章节线代--零空间中最后的疑惑
为什么对于两个平面(二维欧式空间)，它们在三维空间内不可能正交的，它们只可能在四维空间中出现正交。

首先，矩阵的零空间是与矩阵的行空间正交的一个空间，零空间内的任意向量垂直于行空间的所有向量；
对于一个的矩阵来说，行空间和零空间都是一个维空间的子空间；
假设矩阵的行空间是一个二维欧式空间的话，那么矩阵的零空间的维度是；
如果，就是在一个三维空间内，同时能存在一个二维子空间和一个一维子空间正交；
当，就是在一个四维以上的空间内，当存在一个二维的子空间(矩阵的行空间)的前提下，能找到另一个二维子空间(矩阵的零空间)与矩阵的二维行空间正交。所以两个二维欧式空间正交只能在四维以上的空间内发生。