数学解题思路及导向图应用案例说明

图1

图2

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第一个问题比较简单。因为抛物线表达式中只含有一个未知量“a”，所以只需要构建一个方程就可以求出该未知量的具体值。把抛物线上的某个点的坐标代入式中即可，如将点B的坐标代入式中。

解出抛物线的表达式是：.

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上面这张图是解题思路导向图。这张图对解题有很大的帮助，不仅可以理顺解题的思路，还能为思路的下一步找到突破口。学生遇到复杂的数学问题，在解题的过程中通过画这样的思路导向图，不仅能帮助解题，还能锻炼思维能力。而思维能力对解决包括数学问题在内的任何问题都能派上用场。

下面大致解释一下这张图的思路过程。

问题是：求三角形OPE的面积。我们首先要找出计算三角形OPE面积最简单的方法——毫无疑问，以OE为底，过点P作OE的高PD，是最简单的方法，原因是OE和PD的长比较容易求得。

OE的长即为点E纵坐标的绝对值；PD的长即为点P横坐标的长。（对坐标与线段关系的透彻理解）

因此，问题变成：求点E的坐标和点P的坐标。（问题转化）

怎么求点E的坐标呢？

点E是直线AB和y轴的交点。因此求出直线AB的解析式，就可以求出点E的坐标。

怎么求直线AB的解析式呢？

需要知道直线上任意两点的坐标。点B是直线AB上的一个点且已经知道其坐标；点A是直线AB上的一个点，且知道点A是抛物线的顶点，因此可以求出点A的坐标。点A和点B的坐标都已经确定，可以求出直线AB的解析式。

怎么求点P的坐标？

点P的横坐标和纵坐标都不确定，因为包含两个未知量，需要构建关于这两个未知量的两个方程。

点P是直线AB上的一个点，且直线AB的解析式已经确定，因此可以构建其中一个关于点P坐标的方程。

怎么构建另一个关于点P坐标的方程呢？

考虑未用条件：抛物线与y轴交于点F；及∠OPM=∠MAF.

抛物线与y轴交于点F，可以求出点F的坐标。

∠OPM=∠MAF的作用是什么呢？

首先要想到用于构建另一个关于点P坐标的方程，即需要在该条件中找到一个等式关系。

从图中可以看出，∠OPM是三角形OPE的一个角，∠MAF是三角形AEF的一个角。

∠OEP与∠AEF是对顶角，因此∠OEP=∠AEF.

两个三角形有两个角相等，这两个三角形相似。

因此，.

线段OP的长通过点P与点O的坐标求得（将点坐标转化成线段构建等式关系）。

通过两个方程可以求出点P的坐标。

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大家可以根据上图来解答问题3.

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特别说明

本文的重点是讲述面对一道数学问题，我们应该如何展开解题思路，以及说明思路导向图在解题过程中的作用。在思路展开的过程中所用到的方法不只一个，寻找不同的方法解答同一道题意义重大，比重复大量做题有作用得多。比如问题2中，从∠OPM=∠MAF这个条件，除了可以推出两个三角形相似外，我们也可以得出OP∥AF.由点A和点F的坐标，我们可以求出直线AF的解析式，通过将直线AF向上平移可以得出直线OP，由此可求出直线OP的解析式。点P是直线AB和直线OP的交点，因此可以求出点P的坐标。

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我和学习见解

毕业于深圳大学经济系

一个从事股票投资钟情于商业模式研究沉迷在教育中的文学爱好者

大学毕业曾在几百位金融高材生中竞争到香港某金融机构唯一一个股票研究培训生席位。

曾于香港和深圳从事多年股票研究与投资，拥有自己的一套投资体系与哲学，尽管经历多次市场动荡，依然能获取到不菲的投资收益率，曾挑选出多个3年5倍5年10倍的大牛股，也为公司避开多个会带来惨重损失的垃圾股。

亦有过多年多个行业的创业经历。由于自身工作的经历，深知道学习能力的重要性，这是一种与成绩有关但又远不止体现在成绩上的能力。学生阶段培养起来的学习能力不仅仅是考一所好大学的武器，更是工作以后得以持续提升自我，打造竞争力，无论遇到任何问题都能让自己迎难而上，构建解决方案的必不可少的能力。

十几年来，年均阅读书籍超过50本，阅读是终身学习最重要的方式。最近几年开始进行有关学习和教育的研究，并阅读相关书籍接近100本。

学习是态度、思维和时间管理的综合体，只要做好以上三点，任何人都能成为学霸。学习的整个过程包括：接触知识——吸收概念——探索本质——总结应用范围。大部分学生只做到前两步，靠的是死记硬背的记忆方式，这是学习不好的主要原因。