三角函数之和角公式、倍角公式及推导过程

和角公式：

sin (α+β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ
sin (α-β) = sinα·cosβ - cosα·sinβ
cos (α+β) = cosα·cosβ - sinα·sinβ
cos (α-β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ
tan (α-β) = (tanα-tanβ) / (1+tanα·tanβ)
tan (α+β) = (tanα+tanβ) / (1-tanα·tanβ)

记住口诀：正余同余正，余余反正正
同和反说的是符号，五个字分别对应=号右边

证明：

和角公式几何法证明

∠AOB = α，∠AOP = β，|OP| = 1, 单位圆
cos(α-β) = cos∠POM = OM = OB+CP
在△AOB中 OB = OA·cos α
在△APC中 CP = AP·sin∠CAP， 且∠CAP = α ∴CP = AP·sinα
OM = OA·cos α + AP·sinα
在△AOP中 OA = cosβ ·OP = cosβ
在△AOP中 AP = sinβ·OP = sinβ
∴cos(α-β) = cosβ·cos α + sinβ·sinα
用-β代替β，可得：
cos (α+β) = cosα·cosβ - sinα·sinβ

又tan(α-β) = sin(α-β)/cos(α-β)
= (sinα·cosβ-cosα·sinβ)/(cosα·cosβ+sinα·sinβ)
同除cosα·cosβ,
得tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
同理，tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

倍角公式：

二倍角

sin2α = 2sinαcosα
cos2α = cos^2(α)-sin^2(α) = 2cos^2(α)-1 = 1-2sin^2(α)
tan2α = 2tanα/(1-tan^2(α))

由和角公式可得：
① sin2α = sin(α+α) = sinα·cosα + cosα·sinα = 2sinαcosα
② cos2α = cos(α+α) = cosα·cosα - sinα·sinα = cos^2(α)-sin2(α)
cos^2(α)-sin2(α) + 1 - 1 = cos^2(α)-sin2(α) + cos^2(α) + sin^2(α) - 1 = 2cos^2(α)-1
cos^2(α)-sin2(α) - 1 + 1 = cos^2(α)-sin2(α) - cos^2(α) - sin^2(α) + 1 = 1-2sin^2(α)
③ tan2α = tan(α+α) = (tanα+tanα) / (1-tanα·tanα) = 2tanα/(1-tan^2(α))

半倍角

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

①由二倍角公式 cos2α = 1-2sin^2(α) 把α替换为α/2
可得：
cosα = 1-2sin^2(α/2)
2sin^2(α/2) = 1-cosα
sin^2(α/2) = (1-cosα)/2

②由二倍角公式 cos2α = 2cos^2(α)-1 把α替换为α/2
可得：
cosα = 2cos^2(α/2)-1
2cos^2(α/2) = cosα + 1
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

③由以上公式①/②
可得：
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)