C++二分查找

简介

二分查找（英语：binary search），也称折半搜索（英语：half-interval search）、对数搜索（英语：logarithmic search），是用来在一个有序数组中查找某一元素的算法。

工作原理

以在一个升序数组中查找一个数为例。

它每次考察数组当前部分的中间元素，如果中间元素刚好是要找的，就结束搜索过程；如果中间元素小于所查找的值，那么左侧的只会更小，不会有所查找的元素，只需到右侧查找；如果中间元素大于所查找的值同理，只需到左侧查找。

时间复杂度

二分查找的最优时间复杂度为 O(1)。

二分查找的平均时间复杂度和最坏时间复杂度均为 O(log n)。因为在二分搜索过 程中，算法每次都把查询的区间减半，所以对于一个长度为 n 的数组，至多会进 行 O(log n) 次查找。

空间复杂度

迭代版本的二分查找的空间复杂度为 O(1)。

递归（无尾调用消除）版本的二分查找的空间复杂度为 O(log n)。

代码框架

int binary_search(int start, int end, int key) {
  int ret = -1;  // 未搜索到数据返回-1下标
  int mid;
  while (start <= end) {
    mid = start + ((end - start) >> 1);  // 直接平均可能会溢出，所以用这个算法
    if (arr[mid] < key)
      start = mid + 1;
    else if (arr[mid] > key)
      end = mid - 1;
    else {  // 最后检测相等是因为多数搜索情况不是大于就是小于
      ret = mid;
      break;
    }
  }
  return ret;  // 单一出口
}

注意，这里的有序是广义的有序，如果一个数组中的左侧或者右侧都满足某一种条件，而另一侧都不满足这种条件，也可以看作是一种有序（如果把满足条件看做1，不满足看做0 ，至少对于这个条件的这一维度是有序的）。换言之，二分搜索法可以用来查找满足某种条件的最大（最小）的值。

要求满足某种条件的最大值的最小可能情况（最大值最小化），首先的想法是从小到大枚举这个作为答案的「最大值」，然后去判断是否合法。若答案单调，就可以使用二分搜索法来更快地找到答案。因此，要想使用二分搜索法来解这种「最大值最小化」的题目，需要满足以下三个条件：

1. 答案在一个固定区间内；
2. 可能查找一个符合条件的值不是很容易，但是要求能比较容易地判断某个值是否是符合条件的；
3. 可行解对于区间满足一定的单调性。换言之，如果x是符合条件的，那么有x+1或者x-1也符合条件。（这样下来就满足了上面提到的单调性）

当然，最小值最大化是同理的。

STL的二分查找

C++ 标准库中实现了查找首个不小于给定值的元素的函数  std::lower_bound和查找首个大于给定值的元素的函数std::upper_bound ，二者均定义于头文件  中。

二者均采用二分实现，所以调用前必须保证元素有序。