算法与数据结构（二十）回溯法总结（排列）

在上一篇题解中，我总结了回溯算法的三种类型，以及什么时候用回溯算法，怎么写回溯算法，如果没看过的，强烈建议先看： 算法与数据结构（十九）回溯法总结（子集&组合）
下面就来讲解第二种类型——排列类型(ABC三道例题),此题(字符串全排列)为例题C，先上回溯六步走

① 画出递归树，找到状态变量(回溯函数的参数)，这一步非常重要
② 根据题意，确立结束条件
③ 找准选择列表(与函数参数相关),与第一步紧密关联
④ 判断是否需要剪枝**
⑤ 作出选择，递归调用，进入下一层
⑥ 撤销选择

1.全排列–问题描述

给定一个 没有重复 数字的序列，返回其所有可能的全排列。
输入: [1,2,3]
输出:
[
[1,2,3],
[1,3,2],
[2,1,3],
[2,3,1],
[3,1,2],
[3,2,1]
]
解题步骤
①递归树

(最下面的叶子节点，红色【】中的就是要求的结果)
然后我们来回想一下，整个问题的思考过程，这棵树是如何画出来的。首先，我们固定1，然后只有2、3可选：如果选2，那就只剩3可选，得出结果[1,2,3]；如果选3，那就只剩2可选，得出结果[1,3,2]。再来，如果固定2，那么只有1,3可选：如果选1，那就只剩3，得出结果[2,1,3]…
有没有发现一个规律：如果我们固定了(选择了)某个数，那么他的下一层的选择列表就是——除去这个数以外的其他数！！\比如，第一次选择了2，那么他的下一层的选择列表只有1和3；如果选择了3，那么他的下一层的选择列表只有1和2,那么这个时候就要引入一个used数组来记录使用过的数字，算法签名如下

void backtrack(vector<int>& nums,vector<bool>&used,vector<int>& path)//你也可以把used设置为全局变量

②找结束条件

  if(path.size()==nums.size())
        {
            res.push_back(path);
            return;
        }

③找准选择列表

for(int i=0;i<nums.size();i++)
{
    if(!used[i])//从给定的数中除去用过的，就是当前的选择列表
    {
    }
}

④判断是否需要剪枝
不需要剪枝，或者你可以认为，!used[i]已经是剪枝

⑤做出选择

for(int i=0;i<nums.size();i++)
{
    if(!used[i])//从给定的数中除去用过的，就是当前的选择列表
    {
        path.push_back(nums[i]);//做选择
        used[i]=true;//设置当前数已用
        backtrack(nums,used,path);//进入下一层
    }
}

⑥撤销选择
整体代码如下

void backtrack(vector<int>& nums,vector<bool>&used,vector<int>& path)//used初始化为false
{
    if(path.size()==nums.size())
    {
        res.push_back(path);
        return;
    }
    for(int i=0;i<nums.size();i++)//从给定的数中除去，用过的数，就是当前的选择列表
    {
        if(!used[i])//如果没用过
        {
            path.push_back(nums[i]);//做选择
            used[i]=true;//设置当前数已用
            backtrack(nums,used,path);//进入下一层
            used[i]=false;//撤销选择
            path.pop_back();//撤销选择
        }
    }

}

总结：可以发现“排列”类型问题和“子集、组合”问题不同在于：“排列”问题使用used数组来标识选择列表，而“子集、组合”问题则使用start参数

2. 全排列 II(剪枝思想)–问题描述

给定一个可包含重复数字的序列，返回所有不重复的全排列。
输入: [1,2,2]
输出:
[
[1,2,2],
[2,1,2],
[2,2,1]
]
很明显又是一个“重复”问题，在上一篇文章C++ 总结了回溯问题类型 带你搞懂回溯算法(大量例题)的例题B中，当遇到有重复元素求子集时，先对nums数组的元素排序，再用 if(i>start&&nums[i]==nums[i-1]) 来判断是否剪枝，那么在排列问题中又该怎么做呢？

解题步骤

①递归树
依旧要画递归树，判断在哪里剪枝。这个判断不是凭空想出来，而是看树上的重复部分，而归纳出来的

可以看到，有两组是各自重复的，那么应该剪去哪条分支？首先要弄懂，重复结果是怎么来的，比如最后边的分支，选了第二个2后，,竟然还能选第一个2，从而导致最右边整条分支都是重复的

②③不再赘述，直接看④
④判断是否需要剪枝，如何编码
有了前面“子集、组合”问题的判重经验，同样首先要对题目中给出的 nums 数组排序，让重复的元素并列排在一起，在 if(i>start&&nums[i]==nums[i-1])，基础上修改为 if(i>0&&nums[i]==nums[i-1]&&!used[i-1])，语义为：当i可以选第一个元素之后的元素时(因为如果i=0，即只有一个元素，哪来的重复？有重复即说明起码有两个元素或以上,i>0)，然后判断当前元素是否和上一个元素相同？如果相同，再判断上一个元素是否能用？如果三个条件都满足，那么该分支一定是重复的，应该剪去

给出最终代码

void backtrack(vector<int>& nums,vector<bool>&used,vector<int>& path)//used初始化全为false
{
    if(path.size()==nums.size())
    {
        res.push_back(path);
        return;
    }
    for(int i=0;i<nums.size();i++)//从给定的数中除去，用过的数，就是当前的选择列表
    {
        if(!used[i])
        {
            if(i>0&&nums[i]==nums[i-1]&&!used[i-1])//剪枝，三个条件
                continue;
            path.push_back(nums[i]);//做选择
            used[i]=true;//设置当前数已用
            backtrack(nums,used,path);//进入下一层
            used[i]=false;//撤销选择
            path.pop_back();//撤销选择
        }
    }
}

3. 字符串的全排列–问题描述(剪枝思想)

输入一个字符串，打印出该字符串中字符的所有排列。你可以以任意顺序返回这个字符串数组，但里面不能有重复元素。
示例:
输入：s = “abc”
输出：[“abc”,“acb”,“bac”,“bca”,“cab”,“cba”]

解题步骤

其实这题跟例题B一模一样，换汤不换药，把nums数组换成了字符串，直接上最终代码，记得先用sort对字符串s进行排序，再传进来！

//vectorres为全局变量，表示最终的结果集，最后要返回的
class Solution {
public:
 void backtrack(string s,string& path,vector<bool>& used)//used数组
    {
        if(path.size()==s.size())
        {
            res.push_back(path);
            return;
        }
        for(int i=0;i<s.size();i++)
        {
            if(!used[i])
            {
                if(i>=1&&s[i-1]==s[i]&&!used[i-1])//判重剪枝
                    continue;
                path.push_back(s[i]);
                used[i]=true;
                backtrack(s,path,used);
                used[i]=false;
                path.pop_back();
            }   
        }
    }

vector<string> permutation(string s) {
        if(s.size()==0)
            return{};
        string temp="";
        sort(s.begin(),s.end());
        vector<bool>used(s.size());
        backtrack(s,temp,used);
        return res;
    }
};

4. 总结

总结：“排列”类型问题和“子集、组合”问题不同在于：“排列”问题使用used数组来标识选择列表，而“子集、组合”问题则使用start参数。另外还需注意两种问题的判重剪枝！！

注：本文转载改编自 https://leetcode-cn.com/problems/zi-fu-chuan-de-pai-lie-lcof/solution/c-zong-jie-liao-hui-su-wen-ti-lei-xing-dai-ni-ga-4/，仅用于自身总结及学习交流使用。