感悟运算一致性——《义务教育课程标准（2022年版）课例式解读》小学数学。83-132

      基于“小数、分数除法一致性”的整体设计。

      对于小学阶段的除法运算，通过分析现有教材可以发现，二、三、四年级的学生主要学习整数除法，从五年级开始学习小数除法，之后是学习分数除法。以北师大版为例，二年级上册第九单元学的“除法”，主要是利用口诀表解决；三年级下册第一单元的“除法”，主要讲的是商不是一位数的除法，包括商是两位数，甚至三位数的，商中间有零的除法；四年级上册第六单元“除法”，主要讲解了有余数的除法和商不变规律；五年级上册第一单元“小数除法”，第五单元“分数与除法”；五年级下册第五单元“分数除法”。

    2022版新课标在第三学段的内容要求中明确指出:能进行简单的小数、分数的四则运算和混合运算，感悟运算的一致性，发展运算能力和推理能力。今日读到的课例思路让人眼前一亮，耳目一新。

    （一）先学习分数除法，再将小数除法转化为分数除法。从以上北师大版教材为例，除法的编排顺序是:整数除法（表内、除法和有余数除法）——小数除法（分数与除法）——小数除法。而本课例是先学分数除法，再学习小数除法，如果这样编排主要需要注意以下问题:

    1.帮助学生体会整数除法与乘倒数的关系。可以这样理解，学习分数除法运算之前，需要关注分数与整数除法的关系。那也就是说“除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数”这个算法对分数成立，首先要对整数成立。具体解决办法如下:

      首先，借助分物情境和画图，通过除法运算的意义和分数的意义进行讲解。8块糖平均分给4个人，可以每个人分块糖，还可以一块糖分给4个人，每个人分¼，从而有8÷4＝8×¼＝四分之八。

      其次，通过推理进行一般性说明。

图片      这样，既揭示了分数与除法的关系，又渗透了“除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数。”

      2.通过代数推理，理解分数除法的算理。根据（一）的设计路径，学生学习分数除法之前有两个经验基础:一个是整数除法的研究经验和知识基础，另一个是分数意义、分数乘法等。这样说来，让学生把未知转化成已知，把分数转化成整数，便可以借助整数来解决。

      3.同化小数除法，获得通法，感悟运算一致性。将未知转化成已知，将小数除法转化成分数除法，实现运算一致性。

    （二）将小数除法和分数除法转化为整数除法。这样看来，北师大教材的编写五年级上下册关于除法的内容就可以并行，因为他们属于同一地位。这样编排需要注意以下问题:

      1.迁移单位细分经验，解决除数是整体的情况。此部分北师大教材做的特别好，借助于元、角、分或长度单位等现实原型以及直观图等，体会将余数细分的情况。实际上，单位细分的想法与整数除法是一致的。

      2.鼓励学生说理，验证商不变规律。说到商不变规律，一般会想到不完全归纳，一般情况下，上课的流程是，举几个例子进行验证，然后我们就普及使用了。在验证力度上，我们可以借助于运算的意义、生活中的例子、画图等加以验证。在此基础上，可以尝试利用代数推理进行推导。如下:

        3.同化分数除法，获得通法，感悟运算一致性。

    （1）启发学生利用商不变规律将分数转化成整数后再进行计算。示例如下:

      （2）在以上基础上，可以带领学生将这一思维路径转变为“除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数”，示例如下:

      （3）可以直接利用“商不变规律”将除数变为1，示例如下:

      以上两条学习路径都运用了转化的基本思想，通过知识的联结与迁移，引导学生发现运算中数与数之间的联系以及运算之间的联系，打通整数除法、分数除法与小数除法之间的关系，实现除法运算的一致性，提升学生的推理意识和运算能力。

感悟:

      了解某一个知识的路径设计，思考是否可以更加优化。读了本课例，也让我重新找到了北师大版教材中关于“除法”的设计，纵观整个设计，螺旋式上升。本课例在知识设计上有所调整，也是一种大胆的尝试，值得每位小数老师的思考。或许我们可以换种思路，不仅除法上可以创新、优化设计，乘法，图形等知识是否可以？

      重视推理意识。以前教学过程中，总是有意无意避开推理，甚至于一些推理总是不敢下手，不敢深入去推理，担心触碰到学生们的知识上线，读完这个课例，认为我们还是需要更加重视推理意识。整个课例，我认为都是推理意识在起大作用，没有推理意识，就不会有本节课这么精彩的呈现。