BFS 讲解

BFS简介

宽度优先搜索算法（又称广度优先搜索）是最简便的图的搜索算法之一，这一算法也是很多重要的图的算法的原型。其别名又叫BFS，属于一种盲目搜寻法，目的是系统地展开并检查图中的所有节点，以找寻结果。换句话说，它并不考虑结果的可能位置，彻底地搜索整张图，直到找到结果为止。简单来说，bfs好像是一个耳听六路眼观八方的人，搜索时是一层一层的搜索的。BFS利用的数据结构是queue，空间复杂度为o(2^n)，另外BFS可以用来解决最短路问题。BFS是一个从近到远的扩散过程。

基本思想

从初始状态S开始，利用规则，生成所有可能的状态。构成树的下一层节点，检查是否出现目标状态G，若未出现，就对该层所有状态节点，分别顺序利用规则。生成再下一层的所有状态节点，对这一层的所有状态节点检查是否出现G，若未出现，继续按上面思想生成再下一层的所有状态节点，这样一层一层往下展开。直到出现目标状态为止。

BFS的使用步骤

可以分为四个步骤：初始化（初始化队列和所求的值） -> 判空取队头（判断是否为空并取出队头） -> 拓展（利用队头去扩展） -> 判断入队（如果符合，将该点入队）。

void bfs(){
    queueq;
    q.push(初始位置);
    //初始化

    while(q.size()){
        int t = q.front();
        q.pop();//取出队头的点，用该点向周围扩散。
        if(check(j)){       //如果该点可行就将它加入队列中
        q.psuh(j);      
        //实施相应的操作 
        }
    } 
} 

经典例题

好人何老板

题目描述

八十高龄的邓大爷在大街上摔倒了，因为众所周知的原因围观的路人都不敢去救助。恰好何老板下班路过，一向助人为乐的他赶紧抱起邓大爷往医院跑。但好心的何老板面临着一个问题，城市里面有很多医院，到底哪家医院最近呢？ 城市地图用一个由数字0,1,2,3构成的n*m矩阵表示(n,m<=1000)。数字0表示可以行走的道路或空地。数字1表示邓大爷摔倒的位置。数字2表示不可通过的建筑物或障碍物。数字3表示医院。 何老板只能延上下左右四个方向移动，每走一步的距离是1。问到最近的医院需要走多少步？（地图中至少有一个可到达的医院）

输入格式

第一行，两个空格间隔的整数n和m
接下来是一个n*m的矩阵，用空格做间隔

输出格式

一个整数，表示最小的步数。

样例输入

5 8
3 0 0 0 0 2 0 3
2 0 0 2 3 0 2 0
0 2 0 2 0 3 0 2
0 1 0 2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 3

样例输出

6

思路：每次向四个方向搜索，第一个找到的就是最短的方案
没找到就把当前位置设置为2，并继续寻找

代码如下：

#include
#include
using namespace std;
int n,m,c[1010][1010];
int k,l;
struct node{
    int x,y,s;
    node(int x_,int y_,int s_){
        x=x_;
        y=y_;
        s=s_;
    }
};
int bfs(int x,int y){
    queue f;
    f.push(node(x,y,0));
    int dx[4]={-1,1,0,0};
    int dy[4]={0,0,-1,1};
    while(f.size()){
        node a=f.front();
        f.pop();
        for(int i=0;i<4;i++){
            node b(a.x+dx[i],a.y+dy[i],a.s+1);
            if(b.x>0&&b.x<=n&&b.y>0&&b.y<=m){
                if(c[b.x][b.y]==3){
                    return b.s;
                }
                if(c[b.x][b.y]==0){
                    c[b.x][b.y]=2;
                    f.push(b);
                }
            }
        }
    }
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            scanf("%d",&c[i][j]);
            if(c[i][j]==1){
                k=i,l=j;
            }
        }
    }
    cout<

特性：

空间复杂度

因为所有节点都必须被储存，因此BFS的空间复杂度为 O(|V| + |E|)，其中 |V| 是节点的数目，而 |E| 是图中边的数目。注：另一种说法称BFS的空间复杂度为 O(BM)，其中 B 是最大分支系数，而 M 是树的最长路径长度。由于对空间的大量需求，因此BFS并不适合解非常大的问题。

时间复杂度

最差情形下，BFS必须寻找所有到可能节点的所有路径，因此其时间复杂度为 O(|V| + |E|)，其中 |V| 是节点的数目，而 |E| 是图中边的数目。

最佳解 若所有边的长度相等，广度优先搜索算法是最佳解——亦即它找到的第一个解，距离根节点的边数目一定最少；但对一般的图来说，BFS并不一定回传最佳解。这是因为当图形为加权图 （亦即各边长度不同）时，BFS仍然回传从根节点开始，经过边数目最少的解；而这个解距离根节点的距离不一定最短。这个问题可以使用考虑各边权值，BFS的改良算法成本一致搜寻法（en:uniform-cost search）来解决。然而，若非加权图形，则所有边的长度相等，BFS就能找到最近的最佳解。

广度优先搜索算法能用来解决图论中的许多问题，例如：

1. 寻找图中所有连接元件（Connected Component）。一个连接元件是图中的最大相连子图。
2. 寻找连接元件中的所有节点。
3. 寻找非加权图中任两点的最短路径。
4. 测试一图是否为二分图。