代码随想录算法训练营day47 |动态规划 198打家劫舍 213打家劫舍II 337打家劫舍III

day47

      • 198.打家劫舍
        • 1.确定dp数组(dp table)以及下标的含义
        • 2.确定递推公式
        • 3.dp数组如何初始化
        • 4.确定遍历顺序
        • 5.举例推导dp数组
      • 213.打家劫舍II
        • 情况一:考虑不包含首尾元素
        • 情况二:考虑包含首元素,不包含尾元素
        • 情况三:考虑包含尾元素,不包含首元素
      • 337.打家劫舍III
        • 1.确定递归函数的参数和返回值
        • 2.确定终止条件
        • 3.确定遍历顺序
        • 4.确定单层递归的逻辑
        • 5.举例推导dp数组

198.打家劫舍

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解题思路: 当前状态和前面状态会有一种依赖关系,那么这种依赖关系都是动规的递推公式。
动规五部曲分析如下:

1.确定dp数组(dp table)以及下标的含义

dp[i]:考虑下标i(包括i)以内的房屋,最多可以偷窃的金额为dp[i]

2.确定递推公式

决定dp[i]的因素就是第i房间偷还是不偷。

如果偷第i房间,那么dp[i] = dp[i - 2] + nums[i] ,即:第i-1房一定是不考虑的,找出下标i-2(包括i-2)以内的房屋,最多可以偷窃的金额为dp[i-2] 加上第i房间偷到的钱。

如果不偷第i房间,那么dp[i] = dp[i - 1],即考 虑i-1房,(注意这里是考虑,并不是一定要偷i-1房,这是容易混淆的点

然后dp[i]取最大值,即dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);

3.dp数组如何初始化

从递推公式dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);可以看出,递推公式的基础就是dp[0]dp[1]

dp[i]的定义上来讲,dp[0] 一定是 nums[0]dp[1]就是nums[0]nums[1]的最大值即:dp[1] = max(nums[0], nums[1]);

代码如下:

vector<int> dp(nums.size());
dp[0] = nums[0];
dp[1] = max(nums[0], nums[1]);

4.确定遍历顺序

dp[i] 是根据dp[i - 2]dp[i - 1] 推导出来的,那么一定是从前到后遍历!

代码如下:

for (int i = 2; i < nums.size(); i++) {
    dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);
}

5.举例推导dp数组

以示例二,输入[2,7,9,3,1]为例。
代码随想录算法训练营day47 |动态规划 198打家劫舍 213打家劫舍II 337打家劫舍III_第1张图片红框dp[nums.size() - 1]为结果。

以上分析完毕,C++代码如下:

class Solution {
public:
    int rob(vector<int>& nums) {
        if (nums.size() == 0) return 0;
        if (nums.size() == 1) return nums[0];
        vector<int> dp(nums.size());
        dp[0] = nums[0];
        dp[1] = max(nums[0], nums[1]);
        for (int i = 2; i < nums.size(); i++) {
            dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);
        }
        return dp[nums.size() - 1];
    }
};


213.打家劫舍II

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解题思路:
和198 打家劫舍1 相比,唯一区别就是成环了。
对于一个数组,成环的话主要有如下三种情况:

情况一:考虑不包含首尾元素

代码随想录算法训练营day47 |动态规划 198打家劫舍 213打家劫舍II 337打家劫舍III_第2张图片

情况二:考虑包含首元素,不包含尾元素

代码随想录算法训练营day47 |动态规划 198打家劫舍 213打家劫舍II 337打家劫舍III_第3张图片

情况三:考虑包含尾元素,不包含首元素

代码随想录算法训练营day47 |动态规划 198打家劫舍 213打家劫舍II 337打家劫舍III_第4张图片
情况三中,虽然是考虑包含尾元素,但不一定要选尾部元素! 对于情况三,取nums[1]nums[3]就是最大的。

而情况二 和 情况三 都包含了情况一了,所以只考虑情况二和情况三就可以了。

代码如下:

// 注意注释中的情况二情况三,以及把198.打家劫舍的代码抽离出来了
class Solution {
public:
    int rob(vector<int>& nums) {
        if (nums.size() == 0) return 0;
        if (nums.size() == 1) return nums[0];
        int result1 = robRange(nums, 0, nums.size() - 2); // 情况二
        int result2 = robRange(nums, 1, nums.size() - 1); // 情况三
        return max(result1, result2);
    }
    // 198.打家劫舍的逻辑
    int robRange(vector<int>& nums, int start, int end) {
        if (end == start) return nums[start];
        vector<int> dp(nums.size());
        dp[start] = nums[start];
        dp[start + 1] = max(nums[start], nums[start + 1]);
        for (int i = start + 2; i <= end; i++) {
            dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);
        }
        return dp[end];
    }
};

337.打家劫舍III

解题思路:
这道题目算是树形dp的入门题目,因为是在树上进行状态转移,我们在讲解二叉树的时候说过递归三部曲,那么下面我以递归三部曲为框架,其中融合动规五部曲的内容来进行讲解。

1.确定递归函数的参数和返回值

这里我们要求一个节点 偷与不偷的两个状态所得到的金钱,那么返回值就是一个长度为2的数组。

参数为当前节点,代码如下:

vector<int> robTree(TreeNode* cur) {

其实这里的返回数组就是dp数组。

所以dp数组(dp table)以及下标的含义:下标为0记录不偷该节点所得到的的最大金钱,下标为1记录偷该节点所得到的的最大金钱。

所以本题dp数组就是一个长度为2的数组!

那么有同学可能疑惑,长度为2的数组怎么标记树中每个节点的状态呢?

别忘了在递归的过程中,系统栈会保存每一层递归的参数。

如果还不理解的话,就接着往下看,看到代码就理解了哈。

2.确定终止条件

在遍历的过程中,如果遇到空节点的话,很明显,无论偷还是不偷都是0,所以就返回

if (cur == NULL) return vector<int>{0, 0};

这也相当于dp数组的初始化

3.确定遍历顺序

首先明确的是使用后序遍历。 因为要通过递归函数的返回值来做下一步计算。

通过递归左节点,得到左节点偷与不偷的金钱。

通过递归右节点,得到右节点偷与不偷的金钱。

代码如下:

// 下标0:不偷,下标1:偷
vector<int> left = robTree(cur->left); // 左
vector<int> right = robTree(cur->right); // 右
// 中

4.确定单层递归的逻辑

如果是偷当前节点,那么左右孩子就不能偷,val1 = cur->val + left[0] + right[0]; (如果对下标含义不理解就再回顾一下dp数组的含义)

如果不偷当前节点,那么左右孩子就可以偷,至于到底偷不偷一定是选一个最大的,所以:val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]);

最后当前节点的状态就是{val2, val1}; 即:{不偷当前节点得到的最大金钱,偷当前节点得到的最大金钱}

代码如下:

vector<int> left = robTree(cur->left); // 左
vector<int> right = robTree(cur->right); // 右

// 偷cur
int val1 = cur->val + left[0] + right[0];
// 不偷cur
int val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]);
return {val2, val1};

5.举例推导dp数组

以示例1为例,dp数组状态如下:(注意用后序遍历的方式推导
代码随想录算法训练营day47 |动态规划 198打家劫舍 213打家劫舍II 337打家劫舍III_第5张图片
最后头结点就是 取下标0 和 下标1的最大值就是偷得的最大金钱。

递归三部曲与动规五部曲分析完毕,C++代码如下:

class Solution {
public:
    int rob(TreeNode* root) {
        vector<int> result = robTree(root);
        return max(result[0], result[1]);
    }
    // 长度为2的数组,0:不偷,1:偷
    vector<int> robTree(TreeNode* cur) {
        if (cur == NULL) return vector<int>{0, 0};
        vector<int> left = robTree(cur->left);
        vector<int> right = robTree(cur->right);
        // 偷cur,那么就不能偷左右节点。
        int val1 = cur->val + left[0] + right[0];
        // 不偷cur,那么可以偷也可以不偷左右节点,则取较大的情况
        int val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]);
        return {val2, val1};
    }
};

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