算法训练day46-动态规划-打家劫舍I、II、III

198.打家劫舍

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 不触动警报装置的情况下 ，一夜之内能够偷窃到的最高金额。

• 示例 1：

• 输入：[1,2,3,1]

• 输出：4

解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。 偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

解题思路

考虑当前房间i是否偷窃取决于前一间房以及前两间房是否偷窃，故而符合动态规划的思想

1. dp数组定义

dp[i] : 表示从0-i房间内可以偷窃到的最高金额为 dp[i]

2. 确定递推公式

如果偷第i房间，那么dp[i] = dp[i-2] + nums[i]

如果不偷第i房间，那么有可能偷前一间房，dp[i] = dp[i-1]

所以dp[i] = max(dp[i-2]+nums[i],dp[i-1])

3. 初始化

根据公式，最少也需要知道dp[0] 和 dp[1] 的值才能推导

dp[0] = nums[0];

dp[1] = max(nums[0],nums[1]);

4. 确定遍历顺序

从前往后遍历即可

代码示例-java

class Solution {
    public int rob(int[] nums) {
        if(nums==null||nums.length==0){
            return 0;
        }
        // 定义dp数组
        int[] dp = new int[nums.length];
        if(nums.length==1) return nums[0];
        dp[0] = nums[0];
        dp[1] = Math.max(nums[0],nums[1]);
        for(int i=2;i

213.打家劫舍II

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋，每间房内都藏有一定的现金。这个地方所有的房屋都 围成一圈 ，这意味着第一个房屋和最后一个房屋是紧挨着的。同时，相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警 。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 在不触动警报装置的情况下 ，能够偷窃到的最高金额。

示例 1：

输入：nums = [2,3,2] 输出：3 解释：你不能先偷窃 1 号房屋（金额 = 2），然后偷窃 3 号房屋（金额 = 2）, 因为他们是相邻的。

解题思路

对于成环的数组要特殊考虑，之后的处理与198一样。

成环的三种情况：

1. 不考虑首尾

2. 只考虑首，不考虑尾

3. 只考虑尾不考虑首

由于第2、3种情况包含了1，所以只需要特殊处理2、3即可

代码示例-java

class Solution {
    public int rob(int[] nums) {
       if(nums==null||nums.length==0) return 0;
       if(nums.length==1) return nums[0];
       return Math.max(robAction(nums,0,nums.length-1),robAction(nums,1,nums.length));
    }
    /**
     * 提取198题的公共部分代码
     */
    private int robAction(int[] nums,int start,int end){
        int x=0,y=0,z=0;
        for(int i=start;i

337.打家劫舍III

在上次打劫完一条街道之后和一圈房屋后，小偷又发现了一个新的可行窃的地区。这个地区只有一个入口，我们称之为“根”。 除了“根”之外，每栋房子有且只有一个“父“房子与之相连。一番侦察之后，聪明的小偷意识到“这个地方的所有房屋的排列类似于一棵二叉树”。 如果两个直接相连的房子在同一天晚上被打劫，房屋将自动报警。

计算在不触动警报的情况下，小偷一晚能够盗取的最高金额。

解题思路

仍然动态规划的思想，但要注意的是在遍历时需要对二叉树进行遍历，这就需要考虑使用哪种遍历方式了。在这里需要根据递归函数的返回值做实时计算，所以采用深度优先中的后序遍历比较好。所以这是一道动态规划+深度递归的题目。

1. 确定递归函数的参数和返回值

对于每一个节点，只有偷与不偷两种状态，所以需要一个长度为2的dp数组来存储这个节点两种状态下的最大金额。

所以递归函数如下：

int[] robAction1(TreeNode root)

函数的返回值就是dp数组（dp table）：dp下标的含义：下标为0记录不偷该节点所得到的的最大金钱，下标为1记录偷该节点所得到的的最大金钱。

2. 确定终止条件

在遍历的过程中，如果遇到空节点的话，很明显，无论偷还是不偷都是0，所以就返回

if (cur == NULL) return dp[];

3. 确定遍历顺序

使用后序遍历。 因为要通过递归函数的返回值来做下一步计算。

通过递归左节点，得到左节点偷与不偷的金钱。

通过递归右节点，得到右节点偷与不偷的金钱。

// 下标0：不偷，下标1：偷
int[] left = robTree(cur->left); // 左
int[] right = robTree(cur->right); // 右

4. 确定单词递归的逻辑

如果是偷当前节点，那么左右孩子就不能偷，val1 = cur->val + left[0] + right[0];

如果不偷当前节点，那么左右孩子就可以偷，至于到底偷不偷一定是选一个最大的，所以：val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]);

最后当前节点的状态就是{val2, val1}; 即：{不偷当前节点得到的最大金钱，偷当前节点得到的最大金钱}

5. 返回结果

头结点的下标0或者1中的最大值

代码示例-java

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode() {}
 *     TreeNode(int val) { this.val = val; }
 *     TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {
 *         this.val = val;
 *         this.left = left;
 *         this.right = right;
 *     }
 * }
 */
class Solution {
    public int rob(TreeNode root) {
       int[]  res = robDPAction(root);
       return Math.max(res[0],res[1]);
    }

    int[] robDPAction(TreeNode root){
        // 定义dp数组，用来记录当前节点偷或不偷时的最高金额
       int[] dp = new int[2];
       // 终止条件，当前节点为空时 直接返回dp{0,0}
       if(root == null){
          return dp;
       }
       // 遍历左子树
       int[] left = robDPAction(root.left);
       // 遍历右子树
       int[] right = robDPAction(root.right);
       // 不偷当前节点时，当前节点的最大金额= 偷左孩子的最大金额+偷右孩子的最大金额
       dp[0] = Math.max(left[0],left[1]) + Math.max(right[0],right[1]);
       // 偷当前节点时，左右孩子都不能偷。当前节点的最大金额 = 当前节点金额 + 左孩子不偷 + 右孩子不偷 
       dp[1] = root.val + left[0] + right[0];
       return dp;
    }
}