α稳定分布的研究

本文是我在进行噪声数据处理时看到了一篇α稳定分布的模型建立与参数估计的操作记录，内容来源于《Alpha稳定分布的模型仿真及参数估计》一文：

前言

首先需要理清思路，我们需要一个具有alpha稳定分布的数据，然后估计其参数X~S（alpha，beta，delta，mul）。

具有alpha稳定分布的数据可以自己通过模型仿真出来，也可以从生活中采集得到。

alpha控制其冲击特性，beta控制其分布左偏还是右偏还是居中，delta与mul相当于标准差与均值理解。

一、α稳定分布数据产生

标准参考系下(x~S(α，β，1，0))随机变量的产生：

当α！=1时：




当α=1时，


此上生成的是X~S(α，β，1，0)的数据，根据变换：

即可生成Y~S(α，β，δ，mul)分布的数据。

至此，我们得到了一个可以控制参数的α稳定分布的数据。

二、α稳定分布参数估计

参数估计分成两部分，一部分是对称分布与斜分布。所谓对称分布就是beta=0.斜分布就是beta！=0。值得一提的是，参数估计时无法估计出β的正负，需要通过统计数据大于零和小于零数据的多少来判断。beta>0数据多数为正，beta<0数据多数为负。

对称分布

对称分布：
X~S(α，0，delta，0)，一般取mul=0.

其中：

p为用户自己取的一个参数：

一般取p在[0,1],越接近0对α估计精度越高，我喜欢取p=0.1.

斜分布

1、对α的估计（α不为1）：

其中，



2、β的估计：

其中，

3、δ的估计：

其中，

4、mul一般取0，不估计。

后记

参数估计其实误差还是有的，不过在可接受范围内就可以了，我这个工作不需要这个估计有多少精确度，够用就行。（btw看到好多后续copy的文章，那真是直接搬，还有的人改几个公式里的参数，直接让结果报废，emm，试了若干文章的公式还是这一篇讲得最精细，结果也最好。）

顺便一提，matlab里有
[f，xi]=ksdensity
plot（xi，f）
函数用来画序列的pdf（概率密度函数），可以来看看你的数据到底是不是α稳定分布的数据，就像我有一次估计一个序列的α大概有3点几了，还在想我的估计代码哪里错了，结果是序列不是α稳定分布，尴尴尬尬。