【数据结构】第一章 绪论

考点：算法时间复杂度和空间复杂度的分析与计算

1、数据结构基本概念

1.1 概念和术语

数据是信息的载体，是描述客观事物属性的数、字符及所有能输入到计算机中并被计算机程序识别和处理的符号的集合。
数据元素是数据的基本单位，一个数据元素包含多个数据项。比如由姓名，学号组成的学生记录就是一个数据元素，其中学生或姓名则是数据项。
数据对象是具有相同性质的数据元素的集合，是数据的一个子集。例如整数数据对象是N={0, -1, 1, -2, 2, …}
数据类型是一个值的集合和定义在此集合上的一组操作的总称

1. 原子类型。其值不可再分的数据类型。
2. 结构类型。其值可以再分解为若干成分(分量)的数据类型
3. 抽象数据类型。抽象数据组织及与之相关的操作

数据结构是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合

1.2 数据结构三要素

1.2.1 逻辑结构

数据的逻辑结构指数据元素之间的逻辑关系，即从逻辑关系上描述数据。逻辑结构图如下所示：

1.2.2 存储结构

存储结构是指数据结构在计算机中的表示(又称映像)，也称物理结构。它包括数据元素的表示和关系的表示。数据的存储结构是用计算机语言实现的逻辑结构，它依赖于计算机语言。
数据的存储结构主要有顺序存储、链式存储、索引存储和散列存储（这些存储方式在后面的章节都会总结）

结构	定义	优点	缺点
顺序存储	逻辑上相邻的元素物理上也存储在相邻的位置	可以实现随机存储，每个元素占用空间较少。	只能使用相邻的一整块存储单元，可能产生较多的外部碎片
链式存储	借助指示元素存储地址的指针来表示元素之间的逻辑关系	其优点是不会出现碎片现象，能充分利用所有存储单元	每个元素存储指针而占用额外的存储空间，且只能实现顺序存取
索引存储	存储元素信息的同时，还建立附加的索引表。索引表中的每项称为索引项， 索引项的一般形式是(关键字，地址)。	检索速度快	附加的索引表额外占用存储空间。另外，增加和删除数据时也要修改索引表，因而会花费较多的时间
散列存储	根据元素的关键字直接计算出该元素的存储地址，又称哈希 (Hash)存储。	检索、增加和删除结点的操作都很快	若散列函数不好，则可能出现元素存储单元的冲突，而解决冲突会增加时间和空间开销

1.2.3 数据的运算

施加在数据上的运算，包括运算的定义（针对逻辑结构，指出运算的功能）和实现（针对存储结构）。

2 时间复杂度和空间复杂度（重点）

算法的效率通过时间复杂度和空间复杂度进行度量。

2.1 时间复杂度（重点）

时间复杂度指的是所有语句的频度之和，记为T(n)，我们主要关注它的数量级
而在一段程序中，基本运算的频度与T(n)一致，则我们可以通过基本运算的频度来找到时间复杂度。即

这里O指的是取数量级，常见复杂度大小关系为

时间复杂度分为最坏时间复杂度、平均时间复杂度、最好时间复杂度

1. 最坏时间复杂度，指在最坏情况下，算法的时间复杂度
2. **平均时间复杂度，**指所有可能输入实例在等概率出现的情况下，算法的期望运行时间。
3. 最好时间复杂度，指在最好情况下，算法的时间复杂度。

例如在给定数组A[0, …, n-1]中寻找数字k

i = n - 1;
while(i >= 0 & (A[i] != k))
    1--;
return i;

1. 如果数组A中没有与k相等的元素，则语句3的频度f(n)=n（最坏时间复杂度）
2. 如果数组A中最后一个元素是k，则语句3的频度f(n)=0（最好时间复杂度）

分析一个程序的时间复杂度时，通常采用加法规则和乘法规则

1. 加法规则

2. 乘法规则

2.2 空间复杂度

算法的空间复杂度S(n)定义为该算法所耗费的存储空间，同样也是n的函数：

一个程序在执行时除需要存储空间来存放本身所用的指令、常数、变量和输入数据外，还需要一些对数据进行操作的工作单元和存储一些为实现计算所需信息的辅助空间。若输入数据所占空间只取决于问题本身，和算法无关，则只需分析除输入和程序之外的额外空间。

算法原地工作是指算法所需的辅助空间为常量，即 O(1)。