数据结构-时间空间复杂度

目录

前言

1.什么是数据结构

2.什么是算法

3.数据结构和算法的重要性

1.算法的时间复杂度和空间复杂度

1.1算法效率

1.1.1如何衡量一个算法的好坏

1.1.2算法的复杂度

1.2时间复杂度

1.2.1时间复杂度的概念

1.2.2大O的渐进表示法

2.编程练习

2.1.1 排序+遍历

2.1.2

2.1.3 单身狗解法

1.3空间复杂度

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前言

1.什么是数据结构

数据结构(Data Structure)是计算机存储、组织数据的方式，指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。

2.什么是算法

算法(Algorithm):就是定义良好的计算过程，他取一个或一组的值为输入，并产生出一个或一组值作为输出。简单来说算法就是一系列的计算步骤，用来将输入数据转化成输出结果。

3.数据结构和算法的重要性

目前校招的笔试都是20-30左右的选择题+2-4道的编程题，算法题居多，并且某些大厂的笔试题基本上都是算法编程题。

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1.算法的时间复杂度和空间复杂度

1.1算法效率

1.1.1如何衡量一个算法的好坏

下面举一个使用递归思想 来实现斐波那契数列的例子

#include
long long Fib(int N)
{
if(N<3)
return 1;
else 
return 
Fib(N-1)+Fib(N-2);
}

代码非常的简单，但是会发现计算的数字再大一些时，编译器会计算的特别慢，

1.1.2算法的复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计管机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

1.2时间复杂度

1.2.1时间复杂度的概念

什么是时间复杂度？运行一个程序所需要的时间吗？显然不是的，因为在不同的局域网中，不同的机器上，程序运行的速度也会有所差异，于是有了以下时间复杂度的定义：

时间复杂度的定义:在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗? 是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度！！！

eg1

void Func1(int N)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < N; ++i)
	{
		for (int j = 0; j < N; ++j)
		{
			++count;
		}
	}
	for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

 观察代码，我们得出循环次数F(N)=N^2+2*N+10 即为时间复杂度的函数式。

该程序时间复杂度为O(N^2)

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。（最大的量级，取决定性结果那一项）

N=10 F(N)=130;

N=100 F(N)=10210;

N=100 F(N)=1002010;

当N趋于正无穷时，2*N对F(N)的影响远小于N^2

eg2:

void Func2(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

 F(N)=2*N+10,时间复杂度为O(N),   取最高阶的项，再去掉系数，就是时间复杂度

eg3

void Func3(int N, int M)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < N; ++k)
	{
		++count;
	}
	for (int k = 0; k < N;++k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

 此时时间复杂度为O(M+N)因为我们无法区分M和N 哪一个对程序影响较大

若M远大于N则时间复杂度为O(M)

若N远大于M则时间复杂度为O(N)

若N=M则时间复杂度为O(M)  OR  O(N)

eg4:

void Func4(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 100000000; ++k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count + N);
}
int main()
{
	Func4(1);
	return 0;
}

看似循环的次数很多，但是时间复杂度为O(1),1000000000看起来似乎很大，但在无穷大的N面前就算是一个很小的数字，所以单循环常数次的时间复杂度是O(1)

eg5：

const char* strchr(const* str, int character);
//在str字符数组中查找一个字符

时间复杂度为 O(N)，但是这个查找也有可能一次就查找到呀，那为什么时间复杂度还是O(N)呢？

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况:
最坏情况: 任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况: 任意输入规模的期望运行次数
最好情况: 任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如: 在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好情况: 1次找到
最坏情况: N次找到
平均情况: N/2次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

 时间复杂度计算时，是一个稳健保守预期，已经做了最坏的打算

1.2.2大O的渐进表示法

大O符号 (Big o notation) : 是用于描述函数渐进行为的数学符号.推导大阶方法:
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶.

 eg6：计算冒泡排序的时间复杂度

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

观察冒泡排序的时间复杂度，直接从代码中来看有点费力，直接对代码内容进行分析，将第一个数字排好需要n-1次，第二个需要n-2次第三个需要n-3次，以此类推，需要的算次数是一个等差数列等差数列的和为（N-1）*N/2根据大O渐进式可知时间复杂度为O(N^2)

冒泡排序最小的时间复杂度为O(N)(排序时就已经有序了)

eg7：二分查找法

int BiarySearch(int* a, int n, int x)
{
	assert(a);
	int begin = 0;
	int end = n - 1;
	while (begin <= end)
	{
		int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
		if (a[mid] < x)
			begin = mid + 1;
		else if (a[mid] > x)
			end = mid - 1;
		else 
			return mid;
	}
	return -1;
}

最坏的结果除以n次2之后才找到或者没有找到

2^x=N x=logN;

二分法时间复杂度为logN，本应是log以2为底的N但是符号难以表示，故简写为logN

2.编程练习

数组 nums 包含从 0到 n的所有整数但其中缺了一个。请编写代码找出那个缺失的整数。你有办法在O(n)时间内完成吗?

这道题我们有三种办法来解决

2.1.1 排序+遍历

（若下一个数字不等于这个数字+1，则下一个数字为消失的数字）

时间复杂度:O(logN*N)复杂度太高。

2.1.2

0-n为一个等差数列，将0-n的和加起来，再减去数组中数值的和，得到的结果就是消失的数字

时间复杂度为O(N);方法1和2比较，很明显2要简单。下面对2进行实现

int missingNumber(int* nums, int numsSize)
{
	int N = numsSize;
	int ret = N*(N - 1) / 2;
	for (int i = 0; i < N; i++)
	{
		ret -= nums[i];
	}
	return ret;
}

2.1.3 单身狗解法

这个解法需要用到^异或，按位异或，相异为1相同为0；

两个相同的数字异或的结果为0

2^3^2^3结果还是0，满足交换律

下面代码进行实现

int missingNumber(int* nums, int numsSize)
{
	int N = numsSize;
	int x = 0;
	for (int i = 0; i <= N; i++)
	{
		x ^= i;
	}
	for (int i = 0; i < N; i++)
	{
		x ^= nums[i];
	}
	return x;
}

1.3空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。
空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大o渐进表示法
注意:函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定

实例：

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

 来看冒泡排序的空间复杂度，是O(1)还是O(N)呢？答案是O(1)，那么会有人问，int *a这个指针不是指向了n个空间吗为什么复杂度不是O(N),注意空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。而这个数组本来就是用来存放需要排序的数据的，不算额外开辟的空间。其中创建了三个变量故书简复杂度为O(N)；

eg2:

long long Fac(size_t N)
{
if(N==0)
return 1;
else
return Fac(N-1)*N;
}

那么这段代码的空间复杂度又是多少呢，Fac(N)调用Fac(N-1),Fac(N-1)又调用了Fac(N-2),共调用了n次，而每一次调用都会在函数栈帧中开辟常数个空间，故空间复杂度为O(N)；

eg3：

#include
long long Fib(int N)
{
if(N<3)
return 1;
else 
return 
Fib(N-1)+Fib(N-2);
}

递归调用斐波那契数的空间复杂度又是多少呢？还是F(N)依次往下调用，一共开辟了N个常数栈帧，空间复杂度为O(N)，这时又有人提出疑问了，F(N)每次调用两个，开辟了两个空间为什么还是O(N),这时我们需要知道时间是积累的一去不复返的，空间是可以反复利用的

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总结

以上便是全部内容