在非对称加密算法RSA中，假设“大”素数p=5，q=11，试给出计算过程。

1. 题目在非对称加密算法RSA中，假设“大”素数p=5，q=11，试给出计算过程。

知识点：

• RAS计算方法
• 辗转相除法计算私钥d
• 快速指数计算方法

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2. 分析步骤

1. 先计算n=p*q，φ(n)=(p-1)(q-1)

   n=5*11=55,φ(n)=4*10=40

2. 选取一整数e，满足1互质。
   不妨选取e=17，其满足1互质的条件

3. 计算d，d满足e*d ==1 mod φ(n)
   这里的e*d ==1 mod φ(n)
   等价如下：
   e*d -n*k =1
   带入得 17d-40k=1
   后面利用辗转相除法计算d，简单理解是大数当被除数求余就行了
   ①将40对17取模得到的余数6代替40，则变为17d-6k=1；
   ②将17对6取模得到的余数5代替17，则变为5d-6k=1；
   ③将6对5取模得到的余数1代替6，则变为5d-1k=1；
   （注意点：如果k的系数先为1，则令d=1再回代。若d的系数先为1，则令k=0再回代）
   当前k系数先为1令d=1，回代到③式中。
   令d=1，回代到③式，5-1k=1，显然 k=4
   令k=4，回代到②式，5d-24=1，显然 d=5
   令d=5，回代到①式，17*5-6k=1，显然 k=14
   令k=14，代入到17d-40k=1，得d=33,这个值即我们要求的私钥d的最终值。

4. 可得公钥{e,n}={17,55},私钥{d,n}={33,55}

5. 其实到上一步就算完了，我们可以验证试试

   • 加密时密文 c=m^emod n，m是明文。我们可以设个简单的明文 m=2，显然 2¹⁷mod 55 =7
   • 解密时 明文 m=c^emod n。这里是 m=7³³mod 55 =2。我们可以采用快速指数运算来计算，实际上就是幂为奇数提一个出来，之后的偶数幂拆开计算。

快速指数法是运用公式： (a×b)mod n = [(a mod n)×(b mod n)]mod n

例子：

15^27(mod 33)

15^27(mod 33) = 15 * 15^26(mod 33) = 15 * (15²⁾13 (mod 33) = 15 * 27 ^13 (mod 33) = (15 * 27) * 27 ^12 (mod 33) = 9 * 27^12 (mod 33) = 9 * (27²⁾6 (mod 33) = 9 * 3 ^6 ( mod 33) = 9* (3²⁾3 (mod 33) = 9 * 9^3 (mod 33) = (9*9)*9^2(mod 33)=15 * 15 (mod 33) = 27 (mod 33) = 27

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3. 抄作业简单粗暴看这里

n=pq=55, φ(n)=(p-1)(q-1)=40
令e=17，e满足与40互质的条件
∵e*d ==1 mod φ(n)
∴17d-40k=1，由辗转相除法可算出
d=33，满足 e*d=561=55*14+1
可得公钥{e,n}={17,55},私钥{d,n}={33,55}

4. 参考

RSA 计算私钥d的计算方法 （辗转相除法）