代码随想录算法心得 46 | 1143.最长公共子序列、1035.不相交的线、53.最大子序和的动态规划解法...
一、最长公共子序列
链接：力扣
描述：给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
- 例如，
"ace"是"abcde"的子序列，但"aec"不是"abcde"的子序列。
两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。
思路如下：本题和上一题区别在于这里不要求是连续的了，但要有相对顺序，即："ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。
动态规划五部曲分析如下：
1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]
，不定义为长度为[0,i]，之所以这么定义，为了后面代码实现方便，便于进行初始化，其实就是简化了dp数组第一行和第一列的初始化逻辑。
2、确定递推公式
主要就是两大情况： text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同
如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的。
即：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
代码如下：
if (text1[i - 1] == text2[j - 1])
{
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
}
else
{
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
3、dp数组如何初始化
test1[0, i-1]和空串的最长公共子序列自然是0，所以dp[i][0] = 0，同理dp[0][j]也是0。
其他下标都是随着递推公式逐步覆盖，初始为多少都可以，那么就统一初始为0。
代码：
vector> dp(text1.size() + 1, vector(text2.size() + 1, 0));
4、确定遍历顺序
从递推公式，可以看出，有三个方向可以推出dp[i][j]，如图：
5、举例推导dp数组
以输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 为例，dp状态如图：
最后的结果是以dp[text1.size()][text2.size()]
代码如下：
class Solution {
public:
int longestCommonSubsequence(string text1, string text2)
{
vector>dp(text1.size() + 1, vector(text2.size() + 1));
for (int i = 1; i <= text1.size(); i++)
{//dp[i][j]是从[0,i-1]，从[0,j-1]的最长公共子序列的长度
for (int j = 1; j <= text2.size(); j++)
{
if (text1[i - 1] == text2[j - 1])
{//相同的情况
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
}
else
{
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
return dp[text1.size()][text2.size()];
}
}; 运行如下：
二、不相交的线
链接：力扣
描述：在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 nums1 和 nums2 中的整数。
现在，可以绘制一些连接两个数字 nums1[i] 和 nums2[j] 的直线，这些直线需要同时满足满足：
-
nums1[i] == nums2[j] - 且绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。
请注意，连线即使在端点也不能相交：每个数字只能属于一条连线。
以这种方法绘制线条，并返回可以绘制的最大连线数。
思路如下：绘制一些连接两个数字 A[i] 和 B[j] 的直线，只要 A[i] == B[j]，且直线不能相交，直线不能相交，这就是说明在字符串A中找到一个与字符串B相同的子序列，且这个子序列不能改变相对顺序，只要相对顺序不改变，链接相同数字的直线就不会相交。
以A = [1,4,2], B = [1,2,4]为例，相交情况如图：
A和B的最长公共子序列是[1,4]，长度为2。 这个公共子序列指的是相对顺序不变（即数字4在字符串A中数字1的后面，那么数字4也应该在字符串B数字1的后面），本题说是求绘制的最大连线数，其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度。代码都是一样的了。
代码如下：
class Solution {
public:
int maxUncrossedLines(vector& nums1, vector& nums2)
{
vector>dp(nums1.size() + 1, vector(nums2.size() + 1));
for (int i = 1; i <= nums1.size(); i++)
{
for (int j = 1; j <=nums2.size(); j++)
{
if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1])
{
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
}
else
{
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
return dp[nums1.size()][nums2.size()];
}
}; 运行如下：
三、最大子序和
链接：力扣
描述：给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。子数组 是数组中的一个连续部分。
思路如下：这道题可以用贪心算法来解决，这次可以用动态规划的思路再来分析一次。
动态规划五部曲如下：
1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义：
dp[i]：包括下标i（以nums[i]为结尾）的最大连续子序列和为dp[i]。
2、确定递推公式：
dp[i]只有两个方向可以推出来：
- dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i]加入当前连续子序列和
- nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和
一定是取最大的，所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
3、dp数组如何初始化
从递推公式可以看出来dp[i]是依赖于dp[i - 1]的状态，dp[0]就是递推公式的基础。
dp[0]应该是多少呢?
根据dp[i]的定义，很明显dp[0]应为nums[0]即dp[0] = nums[0]。
4、确定遍历顺序
递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态，需要从前向后遍历。
5、举例推导dp数组
以示例一为例，输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，对应的dp状态如下：
注意最后的结果可不是dp[nums.size() - 1]，而是dp[6]。回顾一下dp[i]的定义：包括下标i之前的最大连续子序列和为dp[i]。要找最大的连续子序列，就应该找每一个i为终点的连续最大子序列可用一个result来进行比较，保证来找到dp数组里的最大值。
代码如下：
class Solution {
public:
int maxSubArray(vector& nums)
{//dp[i]以nums[i]为结尾的最大连续子序列和
vectordp(nums.size());
//初始化
dp[0] = nums[0];
if (nums.size() == 1)
{
return nums[0];
}
int result = nums[0];//记录最终的结果
for (int i = 1; i < nums.size(); i++)
{
dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
result = result > dp[i] ? result : dp[i];
}
return result;
}
}; 运行如下：
