代码随想录算法学习心得 48 | 583.两个字符串的删除操作、72.编辑距离...

一、两个字符串的删除操作

链接:力扣

描述:给定两个单词 word1 和 word2 ,返回使得 word1 和  word2 相同所需的最小步数

每步 可以删除任意一个字符串中的一个字符。

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思路如下:整体思路是不变的。

这次是两个字符串可以相互删了,动态规划五部曲,分析如下:

1、确定dp数组(dp table)以及下标的含义

dp[i][j]:以i-1为结尾的字符串word1,和以j-1位结尾的字符串word2,想要达到相等,需要删除元素的最少次数。

2、确定递推公式

  • 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候
  • 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候

当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候,dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];

当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候,有三种情况:

情况一:删word1[i - 1],最少操作次数为dp[i - 1][j] + 1

情况二:删word2[j - 1],最少操作次数为dp[i][j - 1] + 1

情况三:同时删word1[i - 1]和word2[j - 1],操作的最少次数为dp[i - 1][j - 1] + 2

取最小值即可,当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候,递推公式:dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1] + 2, dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1});

因为 dp[i][j - 1] + 1 = dp[i - 1][j - 1] + 2,所以递推公式可简化为:dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1);

这里可能不少录友有点迷糊,从字面上理解 就是 当 同时删word1[i - 1]和word2[j - 1],dp[i][j-1] 本来就不考虑 word2[j - 1]了,那么我在删 word1[i - 1],是不是就达到两个元素都删除的效果,即 dp[i][j-1] + 1。

3、dp数组如何初始化

递推公式中,dp[i][0] 和 dp[0][j]是一定要初始化的。

dp[i][0]:word2为空字符串,以i-1为结尾的字符串word1要删除多少个元素,才能和word2相同呢,很明显dp[i][0] = i。

dp[0][j]的话同理,所以代码如下:

vector> dp(word1.size() + 1, vector(word2.size() + 1));
for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
for (int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;

4、确定遍历顺序

从递推公式 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1] + 2, min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1); 和dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]可以看出dp[i][j]都是根据左上方、正上方、正左方推出来的。

所以遍历的时候一定是从上到下,从左到右,这样保证dp[i][j]可以根据之前计算出来的数值进行计算。

5、举例推导dp数组

以word1:"sea",word2:"eat"为例,推导dp数组状态图如下:

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代码如下:

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2)
    {
        //dp[i][j]:以word1[i-1]结尾,word2[j-1]为结尾的最小删除的操作次数
        vector>dp(word1.size() + 1, vector(word2.size()+1));
        for (int i = 0; i <= word1.size(); i++)
        {//对于dp[i][0]的初始化
            dp[i][0] = i;
        }
        for (int j = 0; j <= word2.size(); j++)
        {
            dp[0][j] = j;
        }
        for (int i = 1; i <= word1.size(); i++)
        {
            for (int j = 1; j <= word2.size(); j++)
            {
                if (word1[i - 1] == word2[j - 1])
                {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                }
                else
                {
                    dp[i][j] = min(dp[i - 1][j]+1, min(dp[i][j - 1]+1, dp[i - 1][j - 1]+2));
                }
            }
        }
        return dp[word1.size()][word2.size()];
    }
};

运行如下:

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二、编辑距离

链接:力扣

描述:

给你两个单词 word1 和 word2请返回将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数  。

你可以对一个单词进行如下三种操作:

  • 插入一个字符
  • 删除一个字符
  • 替换一个字符

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思路如下:

动规五部曲,做一详细的分析:

1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义

dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1,和以下标j-1为结尾的字符串word2,最近编辑距离为dp[i][j]。用i-1就是为了方便后面dp数组初始化的。

2. 确定递推公式

在确定递推公式的时候,首先要考虑清楚编辑的几种操作,整理如下:

if (word1[i - 1] == word2[j - 1])
    不操作
if (word1[i - 1] != word2[j - 1])
    增
    删
    换

也就是如上4种情况。

if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) 那么说明不用任何编辑,dp[i][j] 就应该是 dp[i - 1][j - 1],即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];

此时可能有同学有点不明白,为啥要即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]呢?

那么就在回顾上面讲过的dp[i][j]的定义,word1[i - 1]word2[j - 1]相等了,那么就不用编辑了,以下标i-2为结尾的字符串word1和以下标j-2为结尾的字符串word2的最近编辑距离dp[i - 1][j - 1]就是 dp[i][j]了。

if (word1[i - 1] != word2[j - 1]),此时就需要编辑了,如何编辑呢?

  • 操作一:word1删除一个元素,那么就是以下标i - 2为结尾的word1 与 j-1为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。

dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1;

  • 操作二:word2删除一个元素,那么就是以下标i - 1为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。

dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;

对于添加元素来说,计算过程与删除元素相反,word2添加一个元素,相当于word1删除一个元素,例如 word1 = "ad" ,word2 = "a"word1删除元素'd'word2添加一个元素'd',变成word1="a", word2="ad", dp数组如下图所示意的:

操作三:替换元素,word1替换word1[i - 1],使其与word2[j - 1]相同,此时不用增删加元素。

那么只需要一次替换的操作,就可以让 word1[i - 1] 和 word2[j - 1] 相同。

所以 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

综上,当 if (word1[i - 1] != word2[j - 1]) 时取最小的,即:dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;

递推公式代码如下:

if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
}
else {
    dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
}

3. dp数组如何初始化

dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1,和以下标j-1为结尾的字符串word2,最近编辑距离为dp[i][j]

dp[i][0] :以下标i-1为结尾的字符串word1,和空字符串word2,最近编辑距离为dp[i][0]。

那么dp[i][0]就应该是i,对word1里的元素全部做删除操作,即:dp[i][0] = i;

同理dp[0][j] = j;

所以C++代码如下:

4. 确定遍历顺序

从如下四个递推公式:

  • dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
  • dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
  • dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1
  • dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1

可以看出dp[i][j]是依赖左方,上方和左上方元素的,如图:

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所以在dp矩阵中一定是从左到右从上到下去遍历。


代码如下:

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) 
    {
        //dp[i][j]:以word1[i]和word2[j]结尾的最小操作数
        vector>dp(word1.size() + 1, vector(word2.size() + 1));
        //初始化dp[i][0]
        if (word1.size() == 0 || word2.size() == 0)
        {
            return word1.size() == 0 ? word2.size() : word1.size();
        }
        for (int i = 0; i <= word1.size(); i++)
        {
            dp[i][0] = i;
        }
        //初始化dp[0][j]
        for (int j = 0; j <= word2.size(); j++)
        {
            dp[0][j] = j;
        }
        for (int i = 1; i <= word1.size(); i++)
        {
            for (int j = 1; j <= word2.size(); j++)
            {
                if (word1[i - 1] == word2[j - 1])
                {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                }
                else
                {//替换或者删除word1[i]、word2[j]
                    dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, min(dp[i][j - 1] + 1, dp[i - 1][j - 1] + 1));
                }
            }
        }
        return dp[word1.size()][word2.size()];
    }
};

运行如下:

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