title: 二分经典问题的python实现
date: 2020-03-27 22:13:26
categories: 算法
tags: [python, 二分]
整数二分步骤：
1.找一个区间[L，R]，使得答案一定在该区间中
2.找一个判断条件，使得该判断条件具有二段性，并且答案一定是该二段性的分界点。
3.分析终点M在该判断条件下是否成立，如果成立，考虑答案在哪个区间；如果不成立，考虑答案在哪个区间；
4.如果更新方式写的是R=Mid，则不用做任何处理；如果更新方式写的是L=Mid，则需要在计算Mid时加上1。
具体如下：
假设要在有序数组A找到最大的<= x的数：
我们发现把数组A分为<=x和>x的这两段：
假设要在有序数组A找到最小的<= x的数：
我们发现把数组A分为
数的范围
给定一个按照升序排列的长度为n的整数数组，以及 q 个查询。
对于每个查询，返回一个元素k的起始位置和终止位置（位置从0开始计数）。
如果数组中不存在该元素，则返回“-1”。
输入格式
第一行包含整数n和q，表示数组长度和询问个数。
第二行包含n个整数（均在1~10000范围内），表示完整数组。
接下来q行，每行包含一个整数k，表示一个询问元素。
输出格式
共q行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。
如果数组中不存在该元素，则返回“-1 -1”。
数据范围
1≤n≤100000
1≤q≤100001≤q≤10000
1≤k≤100001≤k≤10000
输入样例：
6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5
输出样例：
3 4
5 5
-1 -1
代码
C++代码
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, m;
int q[N];
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &q[i]);
for (int i = 0; i < m; i ++ )
{
int x;
scanf("%d", &x);
// 二分x的左端点
int l = 0, r = n - 1; // 确定区间范围
while (l < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if (q[mid] >= x) r = mid;
else l = mid + 1;
}
if (q[r] == x)
{
cout << r << ' ';
// 二分x的右端点
r = n - 1; // 右端点一定在[左端点, n - 1] 之间
while (l < r)
{
int mid = l + r + 1 >> 1; // 因为写的是l = mid，所以需要补上1
if (q[mid] <= x) l = mid;
else r = mid - 1;
}
cout << r << endl;
}
else cout << "-1 -1" << endl;
}
return 0;
}
IA=lambda:map(int,input().split())
n,q=IA()
a=list(IA())
a.append(0)
for _ in range(0,q):
m=int(input())
l=0
r=n
while l>1
if a[mid]>=m:
r=mid
else:
l=mid+1
if a[r]!=m:
print("-1 -1")
continue
else:
print(r, end=" ")
l=0
r=n-1
while l>1
if a[mid]<=m:
l=mid
else:
r=mid-1
print(r)
数的三次方根
给定一个浮点数n，求它的三次方根。
输入格式
共一行，包含一个浮点数n。
输出格式
共一行，包含一个浮点数，表示问题的解。
注意，结果保留6位小数。
数据范围
−10000≤n≤10000−10000≤n≤10000
输入样例：
1000.00
输出样例：
10.000000
代码
n=float(input())
l=-10000
r=10000
while r-l>=1e-8:
mid=(l+r)/2
if mid*mid*mid>=n:
r=mid
else:
l=mid
print("%.6f" %l)
机器人跳跃问题
机器人正在玩一个古老的基于DOS的游戏。
游戏中有N+1座建筑——从0到N编号，从左到右排列。
编号为0的建筑高度为0个单位，编号为 i 的建筑高度为H(i)个单位。
起初，机器人在编号为0的建筑处。
每一步，它跳到下一个（右边）建筑。
假设机器人在第k个建筑，且它现在的能量值是E，下一步它将跳到第k+1个建筑。
如果H(k+1)>E，那么机器人就失去H(k+1)-E的能量值，否则它将得到E-H(k+1)的能量值。
游戏目标是到达第N个建筑，在这个过程中能量值不能为负数个单位。
现在的问题是机器人以多少能量值开始游戏，才可以保证成功完成游戏？
输入格式
第一行输入整数N。
第二行是N个空格分隔的整数，H(1),H(2),…,H(N)代表建筑物的高度。
输出格式
输出一个整数，表示所需的最少单位的初始能量值。
数据范围
1≤N,H(i)≤1051≤N,H(i)≤105,
输入样例1：
5
3 4 3 2 4
输出样例1：
4
输入样例2：
3
4 4 4
输出样例2：
4
输入样例3：
3
1 6 4
输出样例3：
3
代码
有个坑，二分过程会爆int（对于C++），python直接大数无敌，但慢，优化一下更快。
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N = 100010;
int n;
int h[N];
bool check(int e)
{
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
e = e * 2 - h[i];
if (e >= 1e5) return true;
if (e < 0) return false;
}
return true;
}
int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &h[i]);
int l = 0, r = 1e5;
while (l < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if (check(mid)) r = mid;
else l = mid + 1;
}
printf("%d\n", r);
return 0;
}
IA=lambda:map(int,input().split())
n=int(input())
a=list(IA())
def check(x):
for i in range(0,n):
if a[i]>x:
x-=a[i]-x
if x<0:return 0
else:
x+=x-a[i]
if x>100005:
return 1
return 1
l=0
r=max(a)+1
while l>1
if check(mid)==1:
r=mid
else:
l=mid+1
print(r)
四平方和
四平方和定理，又称为拉格朗日定理：
每个正整数都可以表示为至多 44 个正整数的平方和。
如果把 00 包括进去，就正好可以表示为 44 个数的平方和。
比如：
5=02+02+12+225=02+02+12+22
7=12+12+12+227=12+12+12+22
对于一个给定的正整数，可能存在多种平方和的表示法。
要求你对 44 个数排序：
0≤a≤b≤c≤d0≤a≤b≤c≤d
并对所有的可能表示法按 a,b,c,da,b,c,d 为联合主键升序排列，最后输出第一个表示法。
输入格式
输入一个正整数 NN。
输出格式
输出4个非负整数，按从小到大排序，中间用空格分开。
数据范围
0 二分未过 字典过了 儿童节那天有 KK 位小朋友到小明家做客。 小明拿出了珍藏的巧克力招待小朋友们。 小明一共有 NN 块巧克力，其中第 ii 块是 Hi×WiHi×Wi 的方格组成的长方形。 为了公平起见，小明需要从这 NN 块巧克力中切出 KK 块巧克力分给小朋友们。 切出的巧克力需要满足： 例如一块 6×56×5 的巧克力可以切出 66 块 2×22×2 的巧克力或者 22 块 3×33×3 的巧克力。 当然小朋友们都希望得到的巧克力尽可能大，你能帮小明计算出最大的边长是多少么？ 第一行包含两个整数 NN 和 KK。 以下 NN 行每行包含两个整数 HiHi 和 WiWi。 输入保证每位小朋友至少能获得一块 1×11×1 的巧克力。 输出切出的正方形巧克力最大可能的边长。 1≤N,K≤1051≤N,K≤105,输入样例：
5
输出样例：
0 0 1 2
代码
n=int(input())
class Node:
def __init__(self,val,c,d):
self.val=val
self.c=c
self.d=d
def __lt__(self,other):
if self.val==other.val:
if self.c==other.c:
return self.d<=other.d
return self.c<=other.c
return self.val<=other.val
summ=[]
c=0
while c*c<=n:
d=c
while d*d+c*c<=n:
node=Node(d*d+c*c,c,d)
summ.append(node)
d+=1
c+=1
summ.sort()
flag=0
a=0
while a*a<=n:
b=a
while a*a+b*b<=n:
l=0
r=len(summ)-1
while l
n=int(input())
class Node:
def __init__(self,val,c,d):
self.val=val
self.c=c
self.d=d
def __lt__(self,other):
if self.val==other.val:
if self.c==other.c:
return self.d<=other.d
return self.c<=other.c
return self.val<=other.val
summ=[]
c=0
dic={}
while c*c<=n:
d=c
while d*d+c*c<=n:
x=d*d+c*c
if x not in dic:
dic[x]=[c,d]
else:
if dic[x][0]>c:
dic[x]=[c,d]
elif dic[x][0]==c:
if dic[x][1]>d:
dic[x]=[c,d]
d+=1
c+=1
summ.sort()
flag=0
a=0
while a*a<=n:
b=a
while a*a+b*b<=n:
x=n-a*a-b*b
if x in dic:
print("{} {} {} {}".format(a,b,dic[x][0],dic[x][1]))
flag=1
break
b+=1
if flag==1:
break
a+=1
分巧克力
输入格式
输出格式
数据范围
1≤Hi,Wi≤1051≤Hi,Wi≤105输入样例：
2 10
6 5
5 6
输出样例：
2
IA=lambda:map(int,input().split())
def check(mid):
summ=0
for i in range(0,n):
summ+=a[i][0]//mid*(a[i][1]//mid)
if summ>=m:
return 1
return summ>=m
n,m=IA()
a=[]
for i in range(0,n):
a.append(list(IA()))
maxx=max(max(a))
l=1
r=maxx
while l