尼姆博弈（所有类型分析）

第一类型： 尼姆游戏：

定义有n堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

尼姆和：把所有堆中物体的个数进行异或运算

直接求取尼姆和

尼姆和为零 先手必输，后者必胜，否则反之

第二个类型： 反尼姆游戏：

定义有n堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者输。

先手必胜的条件为
①：所有堆的石子数均=1，且有偶数堆。
②：至少有一个堆的石子数>1，且石子堆的异或和≠0。

第三个类型：限制最多取的个数，例如第i堆石子共有m个，最多取r个，先对m=m%（r+1）;然后在进行异或求和。再根据异或和判断输赢。

第四种类型：先手的人想赢，第一步有多少种选择。当先手必输时，很显然是0。如果先手赢，那么先手必须努力创造奇异局势，即让其剩余的石子量异或和为0，上面已经讲了当面对非奇异局势是如何转化成奇异局势。当nim游戏的某个位置：（x1,x2,x3），当且仅当其各部分的nim - sum = 0(即x1（+）x2（+）x3 = 0（也就是各部分的异或为0）) 当前位置为必败点，这对于多个堆的情况同样适用。我们首先求出所有堆异或后的值sum，再用这个值去对每一个堆进行异或，令res = x1（+）sum(sum为所有堆的异或和)。如果res < x1的话，当前玩家就从x1中取走（x1-res）个，使x1乘下res这样必然导致所有的堆的异或值为0，也就是必败点（达到奇异局势），这就是一种方案。遍历每一个堆，进行上面的断判就可以得到总的方案数。

res = x1（+）sum；其实就是除了x1之外的n-1堆异或和，a（+）b（+）c=sum；sum（+）c=a（+）b（+）c（+）c=a（+）b;

ps:注意一个必败点不可能导致另一个必败点，因为如果这样的话当前这个必败点就不是必败点了，所以这里对于每个堆的操作至多只有一种方法

可以导败必败点，如果res > x1的话就无论从这个堆取走多少都不可能导致必败点！！！

附上一反尼姆变形题目

Alice and Bob

Alice 和 Bob 正在玩一个游戏，双方都很聪明。游戏是这样的，给出一个正整数 n，然后每次轮流操作，每次操作需要将数 n除以a^k。Alice 先手，谁先将数 n变为 1则谁输。

输入描述:

第一行一个整数 n ( 1

每次操作可以任意指定正整数 a和k，但要保证 a 为质数，并且 a^k 整除当前的 n 。

输出描述:

如果 Alice 赢则输出 Alice win。

Bob 赢则输出 Bob win。

#include
using namespace std;
int main()
{
	long long n;
	cin>>n;
	int ans=0,sum=0,flag=0;
	for(int i=2;i*i<=n;i++)
	{
		if(n%i==0)
		{
			ans=0;
			while(n%i==0)
			{
				n/=i;
				ans++;
			}
			sum^=ans;
			if(ans>1)
			flag=1;
		}
	}
	if(n>1)
	sum^=1;
	if((!flag&&!sum)||(flag&&sum))
	{
		cout<<"Alice win"<

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