筛法求素数

1. 朴素筛法

直接一个个去试

bool is_prime( int m )
{

    for ( int i = 2; i < m; ++i ) {
        if ( m % i == 0)
                return false;
    }

    return true;
}

可以排除所有除2以外的偶数, 对剩下的奇数进行判断。

bool is_prime( int m )
{
    if ( m == 1)
        return false;
    if ( m == 2)
        return true;
    if ( m % 2 == 0 )
        return false;

        for ( int i = 3; i < m; i += 2 )
                if ( m % i == 0)
                        return false;

    return true;
}

素数肯定是成对出现的，因此我们可以判断到sqrt(m)。

• 定理一
  $$\begin{gathered} \forall 合数a，即可以表示为a=bc,1<b\le c<a; \\ 则必有b\le \sqrt{a},c\ge \sqrt{a}. \\ 因若不然则有bc>a，矛盾。 \end{gathered}$$

bool is_prime( int m )
{
    if ( m == 1)
        return false;
    if ( m == 2)
        return true;
    if ( m % 2 == 0 )
        return false;

        for ( int i = 3; i <= m / i; i += 2 )
                if ( m % i == 0)
                        return false;

    return true;
}

2. 埃氏筛法

对于普通筛法我们需要判断sqrt( m ) - 1个数，然而我们可以通过记录 1 ~ sqrt(m)内的质数的方式来减少不必要的合数判断。

• 推论1

$$\begin{gathered} \forall 合数a,必有质因数p\le \sqrt{a} \\ 证明:设b为a在\sqrt{a}以内的因子； \\ 若b是素数，则推论成立； \\ 若b为合数，根据算数基本定理，b必有素因子，则b的质因数也为a的质因数; \\ 推论一成立 \end{gathered}$$
也就是说通过求出1 ~ 10的质数，我们可以筛去11 ~ 100中的合数，进而剩下的都是质数，

再将其添加到质数表中。

int prime_cnt = 0;
int not_prime[10000 + 1] = {0};
int prime_table[1000] = {};

void era_prime( int maxNum ) {


    for ( int i = 2; i <= maxNum; ++i ) {
        if ( !not_prime[i]) {
                for ( int j = i * i; j <= maxNum; j += i) {
                        not_prime[j] = 1;
                }
                 prime_table[ prime_cnt++] = i;
        }

    }
}

3. 欧拉筛

• 算数基本定理

$$\forall a>1,a=p_1^{r_1}{p}_2^{r_2}...p_n^{r_n},p_i为质数,r_i为系数，且分解形式唯一。$$

每个数都只能从最小的质因数所筛去

void eular_prime( int maxNum ) {

   for ( int i = 2; i <= maxNum; ++i) {
       if (!not_prime[i])
               prime_table[prime_cnt++] = i;
       for ( int j = 0; j <  prime_cnt && i  <= maxNum/ prime_table[j]; ++j) {
           not_prime[ i * prime_table[j] ] = 1;
           if ( i % prime_table[j] == 0)
                   break;
       }
   }

}