算法效率分析分为两种:第一种是时间效率,第二种是空间效率。时间效率被称为时间复杂度,而空间效率被称作空间复杂度。 时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度,而空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额外空间,
在计算机发展的早期,计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展,计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。
时间复杂度是一个函数,它定性描述该算法的运行时间。
大O符号(Big O notation):是用于描述函数渐进行为的数学符号。
这里我们引入应该例子:计算一下func1基本操作执行了多少次?
void func1(int N){
int count 0;
for (int i=0;i<N ;i++){
for (intj 0;j<N j++){
count++;
}
}
for (int k=0;k<2*N;k++){
count++;
}
int M=10;
while ((M--)>0){
count++;
}
System.outprintin(count);
}
但是我们可以发现,随着N的增大,F(N)中的2*N+10的作用会微乎其微,起主导地位的还是N^2。
所以这道题答案也就是O(N^2)
恰恰这也是我们大O的内涵所在,在实际中我们计算时间复杂度时,其实并不一定要计算精确的执行次数
而只需要大概执行次数,那么这里我们使用大O的渐进表示法。
用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项。
如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况:
最坏情况:任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况:任意输入规模的期望运行次数
最好情况:任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如:在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好情况:1次找到
最坏情况:N次找到
平均情况:N/2次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况,所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)
计算各例子的时间复杂度
【例1】
void func(int n) {
int count = 0;
for (int a = 0; a < N ; a++) {
count++;
}
for (int b = 0; b < M ; b++) {
count++;
}
System.out.println(count);
}
O(M+N)
【例2】
void func(int N) {
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; k++) {
count++;
}
System.out.println(count);
}
O(1)
常数
【例3】
void bubbleSort(int[] array) {
for (int end = array.length; end > 0; end--) {
boolean sorted = true;
for (int i = 1; i < end; i++) {
if (array[i - 1] > array[i]) {
Swap(array, i - 1, i);
sorted = false;
}
}
if (sorted == true) {
break;
}
}
}
最好:O(N)
最坏:O(N^2)
【例4】
int binarySearch(int[] array, int value) {
int begin = 0;
int end = array.length - 1;
while (begin <= end) {
int mid = begin + ((end-begin) / 2);
if (array[mid] < value)
begin = mid + 1;
else if (array[mid] > value)
end = mid - 1;
else
return mid;
}
return -1;
}
最好O(1)
最坏O(log2N)
【例5】
long factorial(int N) {
return N < 2 ? N : factorial(N-1) * N;
}
递归的复杂度 = 递归的次数 * 每次递归执行的次数 = O(n)
【例6】
int fibonacci(int N) {
return N < 2 ? N : fibonacci(N-1)+fibonacci(N-2);
}
O(2^n)
空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空
间,因为这个也没太大意义,所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似,也
使用大O渐进表示法。
再次注意!!!空间复杂度是考虑程序运行时占用内存的大小,而不是可执行文件的大小。
void bubbleSort(int[] array) {
for (int end = array.length; end > 0; end--) {
boolean sorted = true;
for (int i = 1; i < end; i++) {
if (array[i - 1] > array[i]) {
Swap(array, i - 1, i);
sorted = false;
}
}
if (sorted == true) {
break;
}
}
}
使用了常数个额外空间,所以空间复杂度为 O(1)
int fibonacci(int N) {
return N < 2 ? N : fibonacci(N-1)+fibonacci(N-2);
}
递归调用了N次,开辟了N个栈帧,每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)