计算机组成原理（2）- 浮点数的存储

1、浮点数的表示方法

假设有以下小数，它表示的十进制数是多少呢？

00000000 00000000 00000000 1010.1010

1*2^3 + 1*2^1 + 1*2^-1 + 1*2^-3 = 10.625

1010.1010可以用科学计数法来表示为1.0101010 * 2^3。关于科学计数法再举个例子0.10101用科学计数法表示为1.10101 * 2^-1。

计算机中浮点数的存储方法如下：

32位被划分为三个部分：1位符号、8位指数以及23位尾数。这里的符号指数尾数都是什么呢？

• 符号就是浮点数的正负，正数为0，负数为1；
• 指数位是科学计数法表示的浮点二进制数的指数，由于指数可能有正负，这里的处理方式是将指数加上127再存到这8位中，相应的读取时要减去127；
• 尾数位是科学计数法表示的浮点二进制数的小数部分；
• 由于科学计数法第一位一定是1，所以这一位存储时被舍弃，读取的时候会加上。

以10.625为例，它的二进制数表示为1.0101010 * 2^3，它在计算机中存储为：

反过读取其表示的值：
(-1)^0 * (1 + 0.010101) * 2^(130 - 127) = 1.010101 * 2^3 = 1010.101

要注意这里的2^3并不是8，指的是小数点向后移动3位！如果是1.0*2^3，它表示小数点向右移动三位，表示的二进制数为0b1000，对应的十进制数为2^3=8。这很重要，看不懂就没法理解下一节的内容。

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2、浮点数的范围

浮点数能表示的值的范围是多少呢？

这里有几个规定：

指数	尾数	值	binary
255	0	+/- ∞	0 11111111 00000000000000000000000
255	非0	NaN（not a number）	0 11111111 00000000000000000000001

指数为255时对应的值是无穷以及NaN，所以浮点数指数不能取到255，其范围是-127 ~ 127。值的大小取决于指数，所以二进制范围约为-(1*2^127) ~ (1 * 2^127)，十进制范围约为-2^127 ~ 2^127

用一个数轴来表示32位浮点数能够表示的十进制范围：

看到中间有一段十进制范围-2^-127 ~ 2^-127，这中间是浮点数所不能表示的部分即精度不够的地方，计算方式同上。

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3、浮点数的精度

网上很多博文说浮点数的精度为6 - 7位，我看了很是不解！

明明浮点数能表示的十进制最小值可以大约是2^-127，你说它的精度是6-7位不是胡说吗？

我的理解是这样：

浮点数不为0最小值，或者说是最小单位长度为：
0 00000000 00000000000000000000001

对应的二进制数为(1+2^-23)*2^-127，而这个值的精度取决于括号中的2^-23，由于32位浮点数只有23位表示尾数，所以精度最高只能达到2^-23。

将二进制数2^-23 转化为十进制 为 10^(-6.9)，也就是十进制小数点后6位，所以说精度是6位。

以上说法还比较抽象，这里举个例子，
0 01111111 00000000000000000000001 = (1 + 2^-23) * 2^0 = 0b1.00000000000000000000001
0 01111111 00000000000000000000010 = (1 + .....) * 2^0 = 0b1.00000000000000000000010
0 01111111 00000000000000000000011 = (1 + .....) * 2^0 = 0b1.00000000000000000000011

每次变化都是以最小单位0b0.00000000000000000000001来变化，而这个值对应的十进制数也就是2^-23约为10^(-6.9)，所以精度为6位。

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以上是我对浮点数的理解，如果错误欢迎指出。