计算机组成原理（1）- 整数的存储
初学C++时，书上或者网上的博客中会讲“整数在内存中存储的是补码”，一直也没有理解为什么要以补码存储，以及补码到底是什么。最近看了计算机组成原理，有所感悟，遂于此记录，如有错误欢迎大家指出。
先打一段代码，三行打印分别是什么？
unsigned int a = -1;
printf("a = %x\n", a); // a = ffffffff
printf("a = %u\n", a); // a = 4294967295
printf("a = %d\n", a); // a = -1
以前的理解可能是这样：a是unsigned int，a的范围是0~2^32-1，将 -1 赋值给a会出现溢出，所以第二行打印是4294967295。
现在觉得这样理解有一些僵硬，不易于理解，接下来就记录下我对整数存储的理解。
1、二进制加减法
在开始之前，首先要了解下二进制加减法：对于一个32位寄存器来说，它最大可以记录的值为0xffffffff，也就是所有位都为1
11111111 11111111 11111111 11111111
在最大值基础之上再加一会变成多少呢？加一之后每一位都会向前进1，由于寄存器并没有第33位，所以留下低32位，变成0x0
11111111 11111111 11111111 11111111
+ 00000000 00000000 00000000 00000001
=100000000 00000000 00000000 00000000
在0的基础之上减一会变成多少呢？由于0比1小，所以最低位会向前一位借位，前一位再向它的前一位借位，一直到第32位，它会向第33位借位（其实是不存在的），最后得到结果0xffffffff
100000000 00000000 00000000 00000000
- 00000000 00000000 00000000 00000001
= 11111111 11111111 11111111 11111111
2、无符号整数
符号指的是-负号和+正号，无符号整数指的是大于等于0的正整数。
无符号整数的存储很简单，寄存器中/内存中的值等于无符号整数的二进制值，例如无符号整数10，它的二进制数为0b1010，所以它在寄存器中为
00000000 00000000 00000000 00001010
当寄存器所有位都为1时就是无符号整数的最大值，十六进制值为0xffffffff，十进制值为2^32-1。所以无符号整数的范围为0 ~ 2^32-1。
我们在第一节了解到0xffffffff加1会变成0x0，所以无符号整数最大值加一会变成零，这种情况称为加法溢出；
unsigned int a = 0xffffffff;
printf("a = %x\n", a); // ffffffff
printf("a = %u\n", a); // 4294967295
unsigned int b = a + 1;
printf("b = %x\n", b); // 0
printf("b = %u\n", b); // 0
同样的，0x0减1会变成0xffffffff，即零减一会变成最大值，这种情况称为减法溢出。
int b = 0;
unsigned int c = b - 1;
printf("b = %x\n", c); // ffffffff
printf("b = %u\n", c); // 4294967295
画一张图理解下无符号整数的范围以及溢出：
3、有符号整数
无符号整数表示0 ~ 2^32-1之间的正数，如果想要一个负数应该怎么办呢？这时候就发明了有符号数，规定最高位为符号位，符号位为1则该数为负数，符号位为0则为正数。
有符号正整数的存储方式和无符号整数的存储方式相同，唯一的不一样是，由于最高位为符号位，所以有符号整数的最大值为0x7fffffff，对应十进制值为2^31-1
01111111 11111111 11111111 11111111
接下来看内存中负数应该如何存储呢？
我们先从十进制的角度理解负数，十进制中的 -1 = 0 - 1， -2 = 0 - 2，以此类推 -n 等于 0 减 n。
二进制中也是同样道理，-10 就是 0b0 减 0b1010，得到0xfffffff6。因此-10 在内存中的值是0xfffffff6
00000000 00000000 00000000 00000000
- 00000000 00000000 00000000 00001010
= 11111111 11111111 11111111 11110110
有符号整数可以表示的负数的最小值是多少呢？上面我们讲到最高位为符号位，负数的符号位为1，所以最小值对应的内存中的值应该是0x80000000，我们来计算一下：
00000000 00000000 00000000 00000000
- ?
= 10000000 00000000 00000000 00000000
计算得到?处的值是0x80000000，对应的十进制值为-2^31，所以有符号整数的范围为-2^31 ~ 2^31-1。
同样的，有符号整数也会有溢出的情况出现：
最大值2^31-1(0x7fffffff)加1会变成0x80000000(-2^31)，一下子从最大变成了最小值，
01111111 11111111 11111111 11111111
+ 00000000 00000000 00000000 00000001
= 10000000 00000000 00000000 00000000
int a = 0x7fffffff;
printf("a = %x\n", a); // a = 7fffffff
printf("a = %d\n", a); // a = 2147483647
int b = a + 1;
printf("b = %x\n", b); // b = 80000000
printf("b = %d\n", b); // b = -2147483648
最小值-2^31(0x80000000)减1会变成0x7fffffff(`2^31-1``)，一下子从最小变成了最大值，这里就不贴代码了。
10000000 00000000 00000000 00000000
- 00000000 00000000 00000000 00000001
= 01111111 11111111 11111111 11111111
3 原码、补码、反码
前面两节了解了有符号数，无符号数，以及正数和负数在内存中的存储方式。再回顾一下：正数在内存中存储的值就是其二进制数，负数在内存中存储的值需要用0减去其绝对值的二进制数。
这时候就发现将二进制值转换为负数，或者将负数转化为二进制值要比正数麻烦很多。或者说是负数在内存中的存储方式很不符合我们的阅读习惯。
举个例子，我们平时更习惯将-10表示为0b10000000 00000000 00000000 1010，符号位为1说明是一个负数，这样可以很快知道这个二进制数表示的是-10。
我的理解是：将这种符合阅读习惯的二进制数称为原码，将计算机内存中实际存储的内容称为补码。
我们如何从这个原码计算得到它在内存中真正存储内容（补码）呢？
先看正数10，我们以原码的形式表示它，得到0b1010，等于内存实际存储内容，所以说正数的原码等于补码。
00000000 00000000 00000000 1010
再看负数-10，它在内存中的存储值（补码）就是将0b1010（10）取反再加1，将取反得到的值称为反码。
11111111 11111111 11111111 0101
+ 00000000 00000000 00000000 0001
= 11111111 11111111 11111111 0110
4 数据的存储与读取
回到一开始的例子
unsigned int a = -1;
printf("a = %x\n", a); // a = ffffffff
printf("a = %u\n", a); // a = 4294967295
printf("a = %d\n", a); // a = -1
无符号数a的值为-1，我们不需要了解是否发生溢出了，我们只需要知道内存中存储的值是多少，这里的值是-1，所以内存中的值为0xffffffff。
我们读取到的十进制数是多少取决于我们以什么格式去读取，如果以%u无符号数读取，它就是4294967295；如果以%d有符号数读取，它就是-1。