线性代数——二次型
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- 版权声明
- 补充知识
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- 求和公式的性质
- 常用希腊字符读音
- 二次型
- 坐标变换
- 矩阵合同
- 正定二次型
版权声明
本文大部分内容皆来自李永乐老师考研教材和视频课。
补充知识
求和公式的性质
- ∑ i = 1 n k a i = k ∑ i = 1 n a i \sum_{i=1}^nka_i=k\sum_{i=1}^na_i i=1∑nkai=ki=1∑nai
- ∑ i = 1 n ( a i + b i ) = ∑ i = 1 n a i + ∑ i = 1 n b i \sum_{i=1}^n(a_i+b_i)=\sum_{i=1}^na_i+\sum_{i=1}^nb_i i=1∑n(ai+bi)=i=1∑nai+i=1∑nbi
- ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n a i j = ∑ j = 1 n ∑ i = 1 m a i j \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^na_{ij}=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^ma_{ij} i=1∑mj=1∑naij=j=1∑ni=1∑maij
常用希腊字符读音
- α \alpha α：/ælfə/
- β \beta β：/betə/
- Γ \Gamma Γ、 γ \gamma γ：/gama/
- Δ \Delta Δ、 δ \delta δ：/deltə/
- ε \varepsilon ε：/epsilon/
- υ \upsilon υ：/apsilon/
- θ \theta θ：/θitə/
- π \pi π：/paɪ/
- η \eta η：/ita/
- Λ \Lambda Λ、 λ \lambda λ：/læmdə/
- μ \mu μ：/mju/
- ξ \xi ξ：/ksi/
- Σ \Sigma Σ、 σ \sigma σ：/sigmə/
- τ \tau τ：/taʊ/
- Φ \varPhi Φ、 φ \varphi φ：/faɪ/
- ψ \psi ψ：/psi/
- Ω \Omega Ω、 ω \omega ω：/omiga/
- ρ \rho ρ：/ru:/
二次型
将含有 n n n个变量 x 1 , x 2 , … , x n x_1,x_2,\dots,x_n x1,x2,…,xn的二次齐次函数 f ( x 1 , x 2 , … , x n ) f(x_1,x_2,\dots,x_n) f(x1,x2,…,xn)称为 n n n元二次型。现有一二次型
x 1 2 + 5 x 2 2 − 4 x 3 2 − 2 x 1 x 2 + 6 x 2 x 3 = x 1 2 − x 1 x 2 − x 1 x 2 + 5 x 2 2 + 3 x 2 x 3 + 3 x 2 x 3 − 4 x 3 2 = x 1 ( x 1 − x 2 ) + x 2 ( − x 1 + 5 x 2 + 3 x 3 ) + x 3 ( 3 x 2 − 4 x 3 ) = [ x 1 x 2 x 3 ] [ x 1 − x 2 − x 1 + 5 x 2 + 3 x 3 3 x 2 − 4 x 3 ] = [ x 1 x 2 x 3 ] [ 1 − 1 0 − 1 5 3 0 3 − 4 ] [ x 1 x 2 x 3 ] x_1^2+5x_2^2-4x_3^2-2x_1x_2+6x_2x_3\\ =x_1^2-x_1x_2-x_1x_2+5x_2^2+3x_2x_3+3x_2x_3-4x_3^2\\ =x_1(x_1-x_2)+x_2(-x_1+5x_2+3x_3)+x_3(3x_2-4x_3)\\ {=} \begin{bmatrix} x_1&x_2&x_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1-x_2&&\\ &-x_1+5x_2+3x_3&\\ &&3x_2-4x_3 \end{bmatrix}\\ {=} \begin{bmatrix} x_1&x_2&x_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&-1&0\\ -1&5&3\\ 0&3&-4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix} x12+5x22−4x32−2x1x2+6x2x3=x12−x1x2−x1x2+5x22+3x2x3+3x2x3−4x32=x1(x1−x2)+x2(−x1+5x2+3x3)+x3(3x2−4x3)=[x1x2x3] x1−x2−x1+5x2+3x33x2−4x3 =[x1x2x3] 1−10−15303−4 x1x2x3
那么对于 n n n元二次型有矩阵表示
f ( x 1 , x 2 , … , x n ) = x T A x f(x_1,x_2,\dots,x_n)=x^TAx f(x1,x2,…,xn)=xTAx
其中 x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) T , A = [ a i j ] x=(x_1,x_2,\dots,x_n)^T,A=[a_{ij}] x=(x1,x2,…,xn)T,A=[aij]，并且规定将 A A A化为对称矩阵，因为对称矩阵是唯一的，所以就能唯一确认一个二次型，那么就称 A A A为二次型的矩阵， r ( A ) r(A) r(A)称为二次型的秩，记为 r ( f ) r(f) r(f)。 如果二次型中只含有变量的平方项，所有混合项 x i x j ( i ≠ j ) x_ix_j(i\neq j) xixj(i=j)的系数全为零，即
x T A x = d 1 x 1 2 + d 2 x 2 2 + ⋯ + d n x n 2 x^TAx=d_1x_1^2+d_2x_2^2+\dots+d_nx_n^2 xTAx=d1x12+d2x22+⋯+dnxn2
则称这样的二次型为标准型，在标准型中，若平方项的系数 d j d_j dj为 1 , − 1 1,-1 1,−1或 0 0 0，即
x T A x = x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x p 2 − x p + 1 2 − ⋯ − x p + q 2 x^TAx=x_1^2+x_2^2+\dots+x_p^2-x_{p+1}^2-\dots-x_{p+q}^2 xTAx=x12+x22+⋯+xp2−xp+12−⋯−xp+q2
则称其为二次型的规范型。在二次型 x T A x x^TAx xTAx的标准型中，正平方项的个数 p p p称为二次型的正惯性指数，负平方项的个数 q q q称为二次型的负惯性指数。
坐标变换
如果
{ x 1 = c 11 y 1 + c 12 y 2 + c 13 y 3 x 1 = c 21 y 1 + c 22 y 2 + c 23 y 3 x 1 = c 31 y 1 + c 32 y 2 + c 33 y 3 ① \tag*{①} \begin{cases} x_1=c_{11}y_1+c_{12}y_2+c_{13}y_3\\ x_1=c_{21}y_1+c_{22}y_2+c_{23}y_3\\ x_1=c_{31}y_1+c_{32}y_2+c_{33}y_3\\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1=c11y1+c12y2+c13y3x1=c21y1+c22y2+c23y3x1=c31y1+c32y2+c33y3①
满足
∣ C ∣ = ∣ c 11 c 12 c 13 c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33 ∣ ≠ 0 |C|= \begin{vmatrix} c_{11}&c_{12}&c_{13}\\ c_{21}&c_{22}&c_{23}\\ c_{31}&c_{32}&c_{33}\\ \end{vmatrix} \neq0 ∣C∣= c11c21c31c12c22c32c13c23c33 =0
则称①为 x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) T x=(x_1,x_2,x_3)^T x=(x1,x2,x3)T到 y = ( y 1 , y 2 , y 3 ) T y=(y_1,y_2,y_3)^T y=(y1,y2,y3)T的坐标变换。任何一个二次型 x T A x x^TAx xTAx都可以通过坐标变换化成标准型，通常有以下两种方法：
- 配方法
例：将二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 2 + 2 x 2 2 + 5 x 3 2 + 2 x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 + 6 x 2 x 3 f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+6x_2x_3 f(x1,x2,x3)=x12+2x22+5x32+2x1x2+2x1x3+6x2x3化为标准型。
解：
f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = [ x 1 2 + 2 x 1 ( x 2 + x 3 + ( x 2 + x 3 ) 2 ) ] − ( x 2 + x 3 ) 2 + 2 x 2 2 + 5 x 3 2 + 6 x 2 x 3 = ( x 1 + x 2 + x 3 ) 2 + x 2 2 + 4 x 2 x 3 + 4 x 3 2 = ( x 1 + x 2 + x 3 ) 2 + ( x 2 + x 3 ) 2 f(x_1,x_2,x_3)=[x_1^2+2x_1(x_2+x_3+(x_2+x_3)^2)]-(x_2+x_3)^2+2x_2^2+5x_3^2+6x_2x_3\\ =(x_1+x_2+x_3)^2+x_2^2+4x_2x_3+4x_3^2\\ =(x_1+x_2+x_3)^2+(x_2+x_3)^2 f(x1,x2,x3)=[x12+2x1(x2+x3+(x2+x3)2)]−(x2+x3)2+2x22+5x32+6x2x3=(x1+x2+x3)2+x22+4x2x3+4x32=(x1+x2+x3)2+(x2+x3)2
令
{ y 1 = x 1 + x 2 + x 3 y 2 = x 2 + x 3 y 3 = x 3 ⇒ { x 1 = y 1 − y 2 + y 3 x 2 = y 2 − 2 y 3 x 3 = y 3 \begin{cases} y_1=x_1+x_2+x_3\\ y_2=x_2+x_3\\ y_3=x_3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_1=y_1-y_2+y_3\\ x_2=y_2-2y_3\\ x_3=y_3 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧y1=x1+x2+x3y2=x2+x3y3=x3⇒⎩ ⎨ ⎧x1=y1−y2+y3x2=y2−2y3x3=y3
即 x = C y , C = [ 1 − 1 1 0 1 − 2 0 0 1 ] x=Cy,C=\begin{bmatrix}1&-1&1\\0&1&-2\\0&0&1\end{bmatrix} x=Cy,C= 100−1101−21 - 正交变换法
n n n阶实对称矩阵 A A A必可对角化，且总存在正交矩阵 Q Q Q，使得
Q − 1 A Q = Q T A Q = Λ = [ λ 1 λ 2 ⋱ λ n ] Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\Lambda= \begin{bmatrix} \lambda_1&&&\\ &\lambda_2&&\\ &&\ddots&\\ &&&\lambda_n\\ \end{bmatrix} Q−1AQ=QTAQ=Λ= λ1λ2⋱λn
那么令 x = Q y x=Qy x=Qy，则
x t A x = ( Q y ) T A ( Q y ) = y T Q T A Q y = y T Λ y = λ 1 y 1 2 + λ 2 y 2 2 + λ 3 y 3 2 x^tAx=(Qy)^TA(Qy)\\ =y^TQ^TAQy\\ =y^T\Lambda y\\ =\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\lambda_3y_3^2 xtAx=(Qy)TA(Qy)=yTQTAQy=yTΛy=λ1y12+λ2y22+λ3y32
坐标变换相关性质如下：
- 对任意一个 n n n元二次型 x T A x x^TAx xTAx，其中 A A A是 n n n阶实对称矩阵，必存在正交变换 x = Q y x=Qy x=Qy（ Q Q Q是正交矩阵），使得 x T A x x^TAx xTAx化成标准型
λ 1 y 1 2 + λ 2 y 2 2 + ⋯ + λ n y n 2 \lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\dots+\lambda_ny_n^2 λ1y12+λ2y22+⋯+λnyn2
这里 λ 1 , λ 2 , … λ n \lambda_1,\lambda_2,\dots\lambda_n λ1,λ2,…λn是 A A A的 n n n个特征值。对标准型再次进行坐标变换即可化为规范型。 - 惯性定理：对于一个二次型，不论选取怎样的坐标变换使其化为标准型，其中正平方项的个数 p p p，负平方项的个数 q q q都是由所给二次型唯一确定的。即二次型的规范型是唯一确认的。
矩阵合同
两个 n n n阶矩阵 A A A和 B B B，如果存在可逆矩阵 C C C，使得 B = C T A C B=C^TAC B=CTAC就称矩阵 A A A和 B B B合同，记作 A ≃ B A\simeq B A≃B，并称由 A A A到 B B B的变换为合同变换，称 C C C为合同变换的矩阵。 给定一个二次型
f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A x f(x_1,x_2,x_3)=x^TAx f(x1,x2,x3)=xTAx
对其进行一次任意的 x = C y x=Cy x=Cy坐标变换：
f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A x = ( C y ) T A ( C y ) = y T C T A C y = y T B y f(x_1,x_2,x_3)=x^TAx\\ =(Cy)^TA(Cy)\\ =y^TC^TACy\\ =y^TBy f(x1,x2,x3)=xTAx=(Cy)TA(Cy)=yTCTACy=yTBy
其中 B = C T A C B^=C^TAC B=CTAC，且有
B T = ( C T A C ) T = C T A T ( C T ) T = C T A C = B B^T=(C^TAC)^T=C^TA^T(C^T)^T=C^TAC=B\\ BT=(CTAC)T=CTAT(CT)T=CTAC=B
即 A ≃ B ⇔ A\simeq B\Leftrightarrow A≃B⇔对二次型 x T A x x^TAx xTAx做一次 x = C y x=Cy x=Cy坐标变换。合同的性质如下：
- A ≃ A A\simeq A A≃A
- A ≃ B ⇒ B ≃ A A\simeq B\Rightarrow B\simeq A A≃B⇒B≃A
- A ≃ B , B ≃ C ⇒ A ≃ C A\simeq B,B\simeq C\Rightarrow A\simeq C A≃B,B≃C⇒A≃C
- 任一 n n n阶实对称矩阵 A A A，总可以合同于一个对角矩阵，即
C T A C + [ d 1 d 2 ⋱ d n ] C^TAC+ \begin{bmatrix} d_1&&&\\ &d_2&&\\ &&\ddots&\\ &&&d_n \end{bmatrix} CTAC+ d1d2⋱dn
正定二次型
设二次型 x T A x x^TAx xTAx，如果对任何 x ≠ O x\neq O x=O，恒有 x T A x > 0 x^TAx>0 xTAx>0，则称二次型 x T A x x^TAx xTAx为正定二次型，并称矩阵 A A A是正定矩阵。
- 二次型正定 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ 平方项系数大于零。
- 正定二次型经坐标变换其正定性保持不变。
- n n n元二次型 x T A x x^TAx xTAx正定的从要条件有：
- A A A的正惯性指数是 n n n
- A A A与 E E E合同，即存在可逆矩阵 C C C，使 C T A X = E C^TAX=E CTAX=E
- A A A的所有特征值 λ ( i = 1 , 2 , … , n ) \lambda(i=1,2,\dots,n) λ(i=1,2,…,n)均为正数
- A A A的各阶顺序主子式均大于零