25.最短路问题

一、最短路

单源最短路问题：求源点 $s$ 到图中其余各顶点的最短路径长度。

多源最短路问题：求图上任意两个点之间的最短路径长度。

在带权图 $G=(V,E)$ 中，每条边都有一个权值 $w_i$，即边的长度。两个顶点之间的路径长度为路径上所有边权之和。

如果用我们之前学习的 $dfs$ 来解决单源最短路问题，效率上会很慢，时间复杂度将是 $2$ 的幂这一级数，能解决的问题的数据规模非常小。 而 $bfs$ 能解决的最短路问题只限制在边权为 $1$ 的图上。对于边权不同的图，利用 $bfs$ 求解最短路是错误的。所以我们需要更高效的算法来帮助我们解决这两个问题。

二、Dijkstra算法

1.简介

解决单源最短路径问题常用 Dijkstra 算法，用于计算一个顶点到其他所有顶点的最短路径。Dijkstra 算法的主要特点是以起点为中心，逐步向外扩展，每次都会取一个最近点继续扩展，直到取完所有点为止。注意：Dijkstra 算法要求图中不能出现负权边。

2.算法流程

我们定义带权图 $G$ 所有顶点的集合为 $V$，接着我们再定义已确定从源点出发的最短路径的顶点集合为 $U$，初始集合 $U$ 为空，记从源点 $s$ 出发到每个顶点 $v$ 的距离为 $dis{t}_v$，初始 $dis{t}_s=0$ 。接着执行以下操作：

• 从 $V-U$ 中找出一个距离源点最近的顶点 $v$，将 $v$ 加入集合 $U$。
• 用 $dis{t}_v$ 和顶点 $v$ 连出的边来更新和 $v$ 相邻的、不在集合中的 $U$ 顶点的 ，这一步称为松弛操作。
• 重复前两个步骤，直到 $V=U$ 或找不出一个从 $s$ 出发有路径到达的顶点，算法结束。

如果最后 $V\ne U$，说明有顶点无法从源点到达（即图不连通）；否则每个 $dis{t}_i$ 表示从 $s$ 出发到顶点 $i$ 的最短距离。

Dijkstra 算法的时间复杂度为 $O(V^2)$，其中 $V$ 表示顶点的数量。

3.模板代码

void dijkstra(ll u)
{
	memset(vis,false,sizeof(vis));
	memset(dis,0x7f,sizeof(dis));
	dis[u]=0;
	for(ll i=1;i<=n;i++)
	{
		ll mi=inf;
		for(ll j=1;j<=n;j++)
		{
			if(!vis[j] && dis[j]<mi)
			{
				mi=dis[j];
				u=j;
			}
		}
		if(mi==inf)
			return;
		vis[u]=true;
		for(ll j=p[u];j!=-1;j=e[j].next)
		{
			ll v=e[j].v,w=e[j].w;
            if(!vis[v] && dis[v]>dis[u]+w)
                dis[v]=dis[u]+w;
        }
    }
}

4.堆优化

Dijkstra 算法的核心思想就是维护一个还没有确定最短路的点的集合，每次从这个集合中选取一个路径长度最小的点确定最短路，并更新余下其他点的路径。

如果每次都暴力枚举选取距离最短的点，那么时间复杂度为 $O(V^2)$。我们完全可以考虑采用堆优化的方式，用set来维护点集，这样时间复杂度就优化到了$O((V+E)logV)$，对于稀疏图的优化效果非常好。

struct New
{
	ll id;
	ll len;
	bool operator<(const New &x)const
	{
		if(len!=x.len)
			return len<x.len;
		return id<x.id;
	}
};
set<New> s;
void dijkstra()
{
	memset(dist,0x7f,sizeof(dist));
	dist[S]=0;
	s.insert((New){S,0});
	while(!s.empty())
	{
		set<New>::iterator it=s.begin();
		ll d=(*it).len,u=(*it).id;
		s.erase(*it);
		vis[u]=true;
		for(ll i=p[u];i!=-1;i=e[i].next)
		{
			ll v=e[i].v;
			ll w=e[i].w;
			if(!vis[v] && dist[v]>dist[u]+w)
			{
				s.erase((New){v,dist[v]});
				dist[v]=dist[u]+w;
				s.insert((New){v,dist[v]});
			}
		}
	}
}

三、SPFA算法

1.简介

2.算法流程

3.模板代码

4.SPFA判负环

四、Floyd算法

1.简介

2.算法流程

3.模板代码

五、作业

1.dijkstra算法

P3371 【模板】单源最短路径（弱化版）

P4779 【模板】单源最短路径（标准版）

P1346 电车