【题解】「USACO2004NOV」Apple Catching(DP)

题面

【题目描述】
很少有人知道奶牛爱吃苹果.农夫约翰的农场上有两棵苹果树(编号为 1 1 1 2 2 2),每一棵树上都长满了苹果.奶牛贝茜无法摘下树上的苹果,所以她只能等待苹果从树上落下.但是,由于苹果掉到地上会摔烂,贝茜必须在半空中接住苹果(没有人爱吃摔烂的苹果).贝茜吃东西很快,所以她接到苹果后仅用几秒钟就能吃完.每一分钟,两棵苹果树其中的一棵会掉落一个苹果.贝茜已经过了足够的训练,只要站在树下就一定能接住这棵树上掉落的苹果.同时,贝茜能够在两棵树之间快速移动(移动时间远少于1分钟),因此当苹果掉落时,她必定站在两棵树其中的一棵下面.此外,奶牛不愿意不停地往返于两棵树之间,因此会错过一些苹果, 苹果每分钟掉落一个,共 T ( 1 ≤ T ≤ 1000 ) T(1≤T≤1000) T(1T1000)分钟,贝茜最多愿意移动 W ( I ≤ w ≤ 30 ) W(I≤w≤30) W(Iw30)次.
现给出每分钟掉落苹果的树的编号,要求判定贝茜能够接住的最多苹果数.开始时贝茜在 1 1 1号树下.
【输入】
1 1 1行:由空格隔开的两个整数 T T T W W W.
2 2 2 T + 1 T+1 T+1行: 1 1 1 2 2 2(每分钟掉落苹果的树的编号).
【输出】
在贝茜移动次数不超过W的前提下她能接到的最多苹果数
【样例输入】

7 2
2
1
1
2
2
1
1

【样例输出】

6

【样例解释】
7 7 7分钟内共掉落 7 7 7个苹果一一第 1 1 1个从第 2 2 2棵树上掉落,接下来的 2 2 2个苹果从第 1 1 1棵树上掉落,再接下来的 2 2 2个从第 2 2 2棵树上掉落,最后 2 2 2个从第 1 1 1棵树上掉落.
贝茜不移动直到接到从第 1 1 1棵树上掉落的两个苹果,然后移动到第 2 2 2棵树下,直到接到从第 2 2 2棵树上掉落的两个苹果,最后移动到第 1 1 1棵树下,接住最后两个从第 1 1 1棵树上掉落的苹果.这样贝茜共接住 6 6 6个苹果.

算法分析

我们需要知道贝西当前在在一棵树下,使用了多少次移动次数,当前的时间。那么就定义一个数组表示这些信息:

状态:
f [ t ] [ i ] [ j ] f[t][i][j] f[t][i][j]—— t t t分钟,移动 i i i次,此时在第 j j j棵树下得到的最多苹果数。

状态转移方程:
考虑第 i i i分钟时,是否进行移动,移动到哪一棵树下。
为了写代码方便,使用数组 a [ 0 ] [ t ] a[0][t] a[0][t]表示 t t t分钟第 1 1 1棵苹果树掉落的苹果, a [ 1 ] [ t ] a[1][t] a[1][t]表示 t t t分钟第 2 2 2棵苹果树掉落的苹果,当前在第 j j j棵苹果树下,移动就会移动到第 ( j + 1 ) % 2 (j+1)\%2 (j+1)%2棵苹果数下。
分两种情况:
不移动: f [ t ] [ i ] [ j ] = f [ t − 1 ] [ i ] [ j ] + a [ j ] [ t ] f[t][i][j]=f[t-1][i][j]+a[j][t] f[t][i][j]=f[t1][i][j]+a[j][t] ( 1 < = t < = T , 0 < = i < = W ) (1<=t<=T,0<=i<=W) (1<=t<=T0<=i<=W)
移动: f [ t ] [ i ] [ j ] = f [ t − 1 ] [ i − 1 ] [ ( j + 1 ) % 2 ] + a [ ( j + 1 ) % 2 ] [ t ] f[t][i][j]=f[t-1][i-1][(j+1)\%2]+a[(j+1)\%2][t] f[t][i][j]=f[t1][i1][(j+1)%2]+a[(j+1)%2][t]
取一个 m a x max max值。
时间复杂度: O ( T W ) O(TW) O(TW)

参考程序

#include
#define N 1010
using namespace std;
int n,m;
int a[2][N];    //a[0]为第一棵树,a[1]为第二棵树 
int f[N][33][2];    //f[t][i][j],t分钟,移动i次,在第j棵树下 
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int x;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&x);
        if(x==1) a[0][i]=1;
        else a[1][i]=1;
    }
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=m;i++)
        for(int j=0;j<=1;j++)
            f[0][i][j]=0;   
    for(int t=1;t<=n;t++)
        for(int i=0;i<=m;i++)
            for(int j=0;j<=1;j++)
            {
                if(i==0)
                    f[t][i][j]=f[t-1][i][j]+a[j][t];	
                else
                    f[t][i][j]=max(f[t-1][i][j]+a[j][t],f[t-1][i-1][(j+1)%2]+a[(j+1)%2][t]);//不移动或者移动 
                if(t==n) ans=max(f[n][i][j],ans);
            } 
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

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