【题解】「USACO2004NOV」Apple Catching（DP）

题面

【题目描述】
很少有人知道奶牛爱吃苹果．农夫约翰的农场上有两棵苹果树（编号为$1$和$2$），每一棵树上都长满了苹果．奶牛贝茜无法摘下树上的苹果，所以她只能等待苹果从树上落下．但是，由于苹果掉到地上会摔烂，贝茜必须在半空中接住苹果（没有人爱吃摔烂的苹果）．贝茜吃东西很快，所以她接到苹果后仅用几秒钟就能吃完．每一分钟，两棵苹果树其中的一棵会掉落一个苹果．贝茜已经过了足够的训练，只要站在树下就一定能接住这棵树上掉落的苹果．同时，贝茜能够在两棵树之间快速移动（移动时间远少于1分钟），因此当苹果掉落时，她必定站在两棵树其中的一棵下面．此外，奶牛不愿意不停地往返于两棵树之间，因此会错过一些苹果, 苹果每分钟掉落一个，共$T(1\le T\le 1000)$分钟，贝茜最多愿意移动$W(I\le w\le 30)$次.
现给出每分钟掉落苹果的树的编号，要求判定贝茜能够接住的最多苹果数．开始时贝茜在$1$号树下．
【输入】
第$1$行：由空格隔开的两个整数$T$和$W$.
第$2$到$T+1$行：$1$或$2$（每分钟掉落苹果的树的编号）．
【输出】
在贝茜移动次数不超过W的前提下她能接到的最多苹果数
【样例输入】

7 2
2
1
1
2
2
1
1

【样例输出】

6

【样例解释】
$7$分钟内共掉落$7$个苹果一一第$1$个从第$2$棵树上掉落，接下来的$2$个苹果从第$1$棵树上掉落，再接下来的$2$个从第$2$棵树上掉落，最后$2$个从第$1$棵树上掉落．
贝茜不移动直到接到从第$1$棵树上掉落的两个苹果，然后移动到第$2$棵树下，直到接到从第$2$棵树上掉落的两个苹果，最后移动到第$1$棵树下，接住最后两个从第$1$棵树上掉落的苹果．这样贝茜共接住$6$个苹果．

算法分析

我们需要知道贝西当前在在一棵树下，使用了多少次移动次数，当前的时间。那么就定义一个数组表示这些信息：

状态：
$f[t][i][j]$——$t$分钟，移动$i$次，此时在第$j$棵树下得到的最多苹果数。

状态转移方程：
考虑第$i$分钟时，是否进行移动，移动到哪一棵树下。
为了写代码方便，使用数组$a[0][t]$表示$t$分钟第$1$棵苹果树掉落的苹果，$a[1][t]$表示$t$分钟第$2$棵苹果树掉落的苹果，当前在第$j$棵苹果树下，移动就会移动到第$(j+1)\%2$棵苹果数下。
分两种情况：
不移动：$f[t][i][j]=f[t-1][i][j]+a[j][t]$，$(1<=t<=T，0<=i<=W)$
移动：$f[t][i][j]=f[t-1][i-1][(j+1)\%2]+a[(j+1)\%2][t]$
取一个$max$值。
时间复杂度：$O(TW)$

参考程序

#include
#define N 1010
using namespace std;
int n,m;
int a[2][N];    //a[0]为第一棵树，a[1]为第二棵树 
int f[N][33][2];    //f[t][i][j]，t分钟，移动i次，在第j棵树下 
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int x;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&x);
        if(x==1) a[0][i]=1;
        else a[1][i]=1;
    }
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=m;i++)
        for(int j=0;j<=1;j++)
            f[0][i][j]=0;   
    for(int t=1;t<=n;t++)
        for(int i=0;i<=m;i++)
            for(int j=0;j<=1;j++)
            {
                if(i==0)
                    f[t][i][j]=f[t-1][i][j]+a[j][t];	
                else
                    f[t][i][j]=max(f[t-1][i][j]+a[j][t],f[t-1][i-1][(j+1)%2]+a[(j+1)%2][t]);//不移动或者移动 
                if(t==n) ans=max(f[n][i][j],ans);
            } 
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}