矩阵代数（七）- 维数与秩

小结

1. 坐标系
2. 子空间的维数
3. 秩与可逆矩阵定理

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坐标系

选择子空间的一个基代替一个存粹生成集的主要原因是，中的每个向量可以被表示为基向量的线性组合的唯一表示。

假设是子空间的一组基，对中的每一个向量，相对于基的坐标是使成立的权，且中的向量称为（相对于）的坐标向量，或的-坐标向量。

设。因线性无关，故是的基。判断是否在中，如果是，求相对于的坐标向量。
解：如果在中，则下面的向量方程是相容的：

如果数存在，则它们是的-坐标。由行变换得：
~
于是。

平面H的一个坐标系.png

注意到虽然中的点也在中，但它们完全由属于的坐标向量确定。映射是使和之间保持线性组合关系的一一映射。我们称这种映射是同构的，且与同构。
一般地，如果是的基，则映射是使和的形态一样的一一映射（尽管中的向量可能有多余个元素）。

子空间的维数

非零子空间的维数（用）是的任意一个基的向量个数。零子空间的维数定义为零。
空间维数为，的每个基由个向量组合。中一个经过的平面是二维的，一条经过的直线是一维的。

矩阵的秩（记为）是的列空间的维数。

确定矩阵的秩：

解：行化简称阶梯形：
～
矩阵有3个主元列，因此

定理 14（秩定理）
如果一矩阵有列，则

定理 15（基定理）
设是的维子空间，中的任何恰好由个元素组成的线性无关集构成的一个基。并且，中任何生成的个向量集也构成的一个基。

秩与可逆矩阵定理

定理（可逆矩阵定理（续））
设是一矩阵，则下面的每个命题与是可逆矩阵的命题等价：