数学需要什么样的表达
小学数学教与学 昨天
“表达”维度的研讨，首先分别由罗鸣亮执教《你知道吗？》一课，吴贤执教《平移》一课。课后进行现场互动，主持人：陈静；研讨嘉宾：罗鸣亮，吴贤，张齐华。
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陈 静：各位老师，今天上午听了两节课以后，大家应该感想非常多。互动研讨开始之前，我有几点想法，跟大家分享一下：第一，今天的主题是“表达”。课堂的表达可能是每位教师都绕不过去的一道坎，而且课堂的表达绝大多数和言语有关。我搜索了跟表达相关的几句名言。契诃夫说：“书是音符，谈话才是歌。”可见，即使你有再深刻的思维，再深厚的想法，也一定要通过表达才能让人们明白。休谟说：“语言就其本质而言，是一种公众事务。”这也说明，表达是我们彼此交流和沟通的一个特别重要的工具。席勒说：“思考是我无限的国度，而言语（表达）是我有翅膀的道具。”这三句话，很好地诠释了表达的重要性。还有一句话特别重要。马卡连柯说：“只有学会在脸色、姿态和声音的运用上，能做出20种风格、韵调的时候，我就变成了一个真正有技巧的人。”大家悉心领会一下这句话，它是不是告诉我们，表达是真的有技巧的？老师们，我们不妨扪心自问：我能在课堂上做出20种不同动作、声音的风格韵调吗？现在，我想用一个关键问题切入我们今天的沙龙：数学需要……表达？这个省略号，省掉的是我们每一位老师对表达这一主题的理解。你认为数学需要怎样的表达？发言权首先交给执教的两位老师。在座的各位老师，也可以把你的关键词发在我们论坛的微信群里。我们今天的对话，完全是现场版。当然，昨天下午的也是。
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吴 贤：我想说两个词。第一个词在课堂上已经呈现了，叫“形神兼备”。今天这节课，在备课的时候我就有准备了，课堂上要特别关注学生的表达。之前我也在想，对于学生来说，怎样的表达才是数学需要的好表达？“形神兼备”可能不够准确，但是我力图从学生能理解的角度去阐释这四个字。我觉得，“形”就是课堂上学生一直都在“说”，但还达不到“表达”这一层面——前天备课的时候，我还特意去查了“表达”的意思，就是要把我们对事物的思考用别人可以理解的方式传递出去。这可能只是其中的一种解释，但我很欣赏这种解释。所以，表达首先要有思考。这就是“神”。数学上，要想把思考有“神”地表达出来，还需要“有条理”“有依据”。对于小学生来说，做到这一点是很难的，因为思考本身就已经有不小的难度了。做到“有条理”“有依据”，可能还需要借助一些外在的东西。我们在课堂上需要传授的一些东西，可以用文字去表达，用文字提炼出来；可以用语言去表达，同时辅以一些动作、符号，就像马卡连柯所说的那样。我们的学生可能更习惯两手放在两侧，“咕噜咕噜”地讲，而不太习惯一边讲、一边指、一边画，这都需要我们不断指导、反复训练他们，让我们的学生习惯用这样的方式去表达自己的想法。当然，这个“形神兼备”的表达可能想得很好，做得却差很远。但我觉得每天去试一试，可能逐渐就能找到“形”，进而达到“神”。这是我要说的第一个词。第二个词叫“由此及彼”。今天的课堂上，学生的表达大部分还停留在自己跟自己说话。有个男生，不知道大家注意到没有，每个问题他都举手。一开始我也给他发言机会了，后来我就不再请他了。课后他还跑到我这来解释他认为别人是怎么想的，你们听听这个句式：“我认为他可能还会这样想。”他其实不是想解释那个同学怎么想，他真实的意图就是来说自己是怎么想的。所以很多学生，尤其是小学阶段的孩子，我的感觉是，他们大多愿意去表达，但是表达完以后并不关心自己的表达有没有传递给别人。所以，以后的课堂我会想方设法，让学生的表达围绕的是“要将我的思考传递给别人”。怎么样传递给别人？可能那种同理心非常重要，要能感受别人的感觉。比如，别人是不是需要你的解释，别人有没有理解你的想法，等等。也就是说，关注的不再局限于自己，而是能关照别人。当然，即便是成人，做到这一点真的很难。但是我觉得，这是人的一项非常重要的素养。年龄越大，和人交流的时候越需要关注这一点。
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陈 静：非常感谢吴老师。她说的两个词“形神兼备”“由此及彼”，说明学生在课堂上的表达，需要关注表达的内容、表达的重点以及自己的表达别人是否能听懂。下面，罗老师是不是要拿起话筒了？
罗鸣亮：首先感谢组委会，这次活动设计得非常好。三个半天的研讨主题“倾听”“表达”“思考”，非常好。不过我纳闷的是，为什么“倾听”排最前面，然后是“表达”，最后是“思考”。我觉得，有了思考以后才有表达，有了表达才有互相之间的倾听，然后再有第二次的思考、第二次的表达、第二次的倾听……三者是相互关联的。我想说的第一句话是“数学需要思考的表达”，没想到让吴老师抢先说了，那我就换一个词——“数学需要思维的表达”。因为不管从哪个角度来说，数学最重要的还是思维。这是我的第一个关键词。我刚当教研员的时候，给自己立了一个目标，要做一个讲道理的数学教师，前不久，也申报了与此相关的一项国家教学成果奖。再者，我还向教育部申报了重点课题“基于深度学习的说理课堂”，所以，我的第二个关键词是“数学需要有道理的表达”。当然，一个人的观点会有“偏见”，请大家指正。
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陈 静：大家注意到了吗？罗老师提了一个问题，三个半天的主题“倾听”“表达”“思考”，他认为，应该先思考，然后有表达，然后才有倾听。这个逻辑关系是不是有点理不顺？
罗鸣亮：按我们上课来说，都有顺序。
陈 静：其实三者之间并不矛盾。
张齐华：我来说说“幕后故事”。“倾听”“表达”“思考”这三个核心词是我们和主办方策划活动方案时大家共同商量出来的。因为“听说听说，先听后说”，因此，“倾听”就放在了“表达”之前，而“思考”应该作为整个活动的压轴，就被放到了最后半天。事情就这么简单。
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陈 静：谢谢齐华，回应了罗老师的第一个问题。下面该你说说了，数学需要怎样的表达？
张齐华：好的，谈谈我个人的体会。刚刚我点开论坛的微信群，发现里面有很多老师给出了关键词，这些关键词，我随便挑一个都行，我觉得每个老师说得都很有道理。我内心的感触是，对于“表达”，我们在平时的课堂里关注得太少了，我们平时都不太去想它。但是今天，一旦我们打开“潘多拉的盒子”，所有的老师都给出了自己的“词”。我想，老师们迫切提出的每一个关键词一定都指向某一类问题。比如，他在说“有理有据”的同时，一定是平时学生的表达更多是主观情绪的抒发，或者是很莽撞的表达；他在说“理性”的时候，一定是平时学生的表达中感性的成分居多。因此，在每一个关键词的背后，我似乎都能看到老师们对于实现在未来的教学实践中让课堂里有更好的表达这样一种愿望的渴求。我想说两个关键词，“共性的表达”和“个性的表达”。这要追溯到前天晚上我跟我爱人的一场家庭交流。我爱人问我这两天在忙什么，我说我在为一场论坛活动做准备。她说你准备什么，我说我在准备两个主题词：一个是“表达”，一个是“倾听”。你猜，我爱人作为一个语文老师，说了一句什么话？她说：“这需要你们管吗？这不是我们的事吗？你们把自己的事搞搞好就行了。”我就反问了一句：“你们搞好了还需要我们介入吗？你不应该回头看看你们的语文课上是不是留下了太多太多的问题？”我是想说，今天我们讨论的问题是值得老师们跨越学科去共同讨论的。实际上，“表达的共性”是什么？就是，不要以为“表达”这个话题是我们数学学科的老师在“战斗”，其实是我们所有学科的老师们在“战斗”。“表达”这个问题不是专属数学学科的，甚至在某种意义上，数学学科只是一个次要学科，首要的是语文。当然与此同时，跟我们并肩作战的，还有科学、英语以及美术、音乐等学科。音乐课堂怎么去表达？怎么用肢体去表达，怎么用你的旋律，用你的抑扬顿挫去表达？美术课，怎么用你的色彩去表达你的情绪和感受？所以我想说，等语文课堂的铃声响了，你可以悄悄地坐在里边，像今天这样带着问题意识、带着研究意识去听语文课，你一定会在语文课堂里听到很多东西。你可能会说，那我们数学学科再去做一遍不是就重复了？不是。我们现在的很多教育问题，是因为学科与学科之间的壁垒造成的。数学老师根本不清楚语文老师在干什么，语文老师也不清楚数学老师在干什么。我们不清楚需要语文老师配合我们什么，我们也并不清楚语文老师希望我们配合他们什么。所以，语文老师会说，我们的学生说话没有逻辑——逻辑是数学课堂的事；而数学老师会说学生表达没有感染力——感染力是语文课堂的事。所以，自己试着去推开那堵墙，这个时候你就会发现，表达不是一种学科的能力，它是一个人的基础素养。只不过今天我们依托数学载体，来研究如何帮助学生提升这种素养。接下来说“个性的表达”。大家都在谈表达，数学学科可以提供数学这门学科能够带给学生、带给老师的个性化的东西。我们都知道，数学是一门抽象的学科，是一门逻辑的学科。这是数学的学科属性。所以，数学的表达，应该是基于符号的，基于推理的，基于模型的。所以，我们既要抓共性的表达，注意，我们是团队在作战；同时，也要记住数学课堂的独特性。把握住共性和个性，我想我们对数学的表达会有更好的认识和体会。
陈 静：我非常赞同齐华的观点，其实学生的很多表达，很重要的一方面来自语文学科，这个不容否认。我举一个小例子。我刚开始工作的时候，在南京市玄武区另外一所非常有名的小学——南京师范大学附属小学，学校里有一位传奇的教师，她没有任何的荣誉称号，“青优”“学带”都不是，就是一位普普通通的语文老师。她传奇在什么地方呢？无论她教哪一个班，只要一年以后，即使不是这个班级的任课教师，在开公开课的时候，都会向她借班。因为在她的训练下，学生在课堂上的表达实在是太出色了。班上40个学生，每一个站起来，都能围绕一个观点侃侃而谈；而且，每一个人的表达方式还都不一样，口若悬河，声情并茂。我们向她请教，她说就两个字“训练”。一个是要“训”，一个是要“练”。这说明学生的口头表达离不开学科教师坚持不懈、日复一日地在课堂上的指导、点拨与训练。语文学科如此，数学学科亦是如此。大家都看到了，今天包括昨天的课堂上，都有类似的训练。在语文老师的训练下，学生有可能掌握了一些表达的规范，但是对于数学学科，如何实现理性的表达、共性的表达，在共性表达的基础上实现个性的表达、讲道理的表达、有理有据的表达……这些必须要依靠数学老师的训练。刚才我打开论坛微信群，发现又有了很多观点，其中有一条非常有意思。我们就有请这位——泰兴市南星小学的严竹平老师现场提出您的问题。
与会老师：作为一线教师，平时的课堂上除了注重学生的能力表达，还要兼顾教学任务。我注意到，今天两位老师的课的时长，与我们平时的课时相比，还是有比较大的区别的。在40分钟的课堂里，我们如何才能做到在学生能力得到培养的同时教学任务也能很好地完成？
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吴 贤：这个问题，其实在我们日常的课堂中每天都存在。不知道今天老师们有没有留意我的课堂，我用了一张研学单（即任务单），课前对学生做了一些研究，这也是目前学习方式变革的一个方向。贲友林老师更是其中的高手。在做的过程中，我们发现，当我们想要既关注到学科本质，又发展学生的数学思维，或者从更高的角度说，使人的基础能力有所提升，比如就“表达”这个维度，我们的课堂一定会有所取舍。问题在于：取舍之间，谁的价值更大？舍弃的是否会永远舍弃？在备课的过程中我也在不断思考，一个人的表达，这样很日常的一个现象，现在需要我们“放大”去观察、去研究，说明它确实是有问题的。我们对课堂的很多不满意，都是针对学生表达的，而表达的根源是学生的思考或者思维。语言是思维的外衣，如果学生不能表达自己的思考，说明他的思考本身是有问题的。为什么我们经常觉得学生说话好像在绕圈子，永远在隔靴搔痒，就是回答不到点子上？其实可能就是他没有想明白。因此，当我们放弃某些东西，今天着重来帮助学生训练表达的能力，实质上也是在帮助他形成思考的能力。那些舍弃的东西可能并不需要刻意去挽留，可能在某个过程中，它就自己回来了。我们也有切身体会：一开始做这样的研究，在课堂上非常焦虑，课总也上不完。比如我今天的课，按照教学步骤，还需要学生画平移图形，但是课堂已经没有时间了，我必然要舍弃这个部分。但是如果今天学生表达得清楚了、明白了，一节课的结束，不代表学习的结束，那些平移图形明天再画就是。还有，随着学生表达能力的提升，逐渐地，他在表达的过程中就能做得很好，就理解得非常透彻，这可能比反复做题的训练效果要好得多。所以取舍的问题，要看谁的价值更大。
陈 静：从某个角度说，当教师有意识地把某一个问题卷入自己的课堂时，教学行为一定会随之发生一些变化。昨天齐华的课堂上，他一开始也是费了很多的口舌，去指导学生怎样倾听，如用耳朵、用心等等。我们在指导学生表达的时候，必然也要花费一些时间，吴贤老师的观点是要学会取舍，指导、点拨、提升总是需要时间的，但是她相信，在未来不久，这些花出去的时间一定会有回报。这会儿我们论坛微信群里有一条留言，是针对罗老师的课的，我来读一下：“听罗老师的课，让我们感受到学生表达的欲望是可以被老师激发的。从刚开始的少有人举手，到后来的积极发言。数学语言是有差别的，使用恰当的数学语言表达数学思维也是表达能力的体现。学生的表达需要老师创造机会……”发这条留言的老师，书面表达能力非常强，他就是常州市三井小学的李志军老师。李老师，我只读了您一半的留言，另外一半留言中的问题，您肯定想请台上的罗老师来回答，对吗？
与会老师：听了罗老师的课，收获很多。刚刚大家也讨论了很多，尤其是张老师讲的，对于表达的训练，可能不完全是我们数学老师的任务。大家都在忙，我们数学老师要忙什么？我个人理解，就是在数学课堂上，用数学语言表达数学思维。我有一个疑问想请教罗老师，当学生的表达不准确、不严谨时，教师该如何帮助学生，让每一位学生都有所成长？因为这次论坛的主题是“关注每一位学生的课堂学习”。谢谢！
罗鸣亮：谢谢李老师提的好问题。听到这个问题的时候，台下的贲老师和我会心地笑了。为什么？因为我事先向他提过这个问题，他教过我怎么回答。当学生在课堂上表达不准确、不严谨时，教师该如何指导、帮助？我觉得，是“不着急”。不要急着去指导、帮助，因为有时是需要老师的，但有时更需要的是学生。学生之间的互相评价、互相批判，不就是我们要的高阶思维吗？只有把这个权利还给学生的时候，课堂才是他们的。第一次，他们不懂得评价、批判，说明他们没有听，没有认真听，没有用眼听、用心听，或者说没有深入地思考，这不就是再次去引发他们的学习吗？所以，我的回答是，有时需要老师的帮助，但有时更需要学生之间的帮助。贲老师教我的回答是：“有时可以当场，有时可以延时。”刚才那位严老师的问题我顺便也回答一下。这个问题也非常好，因为基本上各种课堂活动都面临这样的问题。说实话，我拖的时间还不算长。我是不敢在福建上公开课的。原因很简单，我在福建组织赛课的时候，专门有一个人负责计时：1分钟之内不扣分，每超过1分钟扣1分。曾经有个老师在超过50秒的时候，还有学生站起来回答问题，老师把话筒递过去，那个学生10秒以后才说出答案。糟糕，他超了1分零3秒，忍痛被扣了1分，结果他只拿到了二等奖。由此，他们反问我：“罗老师，你上课会不会超时呢？”这是一个很现实的问题。上了这么多年课，我也仅有一次——当我说“这节课上到这”的时候，铃声响了。这是这么多年来我唯一有过的这么准时的一次。借用特级教师徐斌说过的话：“学生不是道具，教案不是剧本，教学不是表演。”学生是有生命的，有的时候20分钟就把“5的倍数”的道理讲完了（罗鸣亮老师的《你知道吗？》一课，主要内容是：如何判断一个数是否为2、3、5的倍数。第一环节，判断5的倍数；第二环节，判断2的倍数；第三环节，判断3的倍数），而有的时候……不是说学生水平越高，课的进度就会越快，而是学生懂得越多，他们越会表达。你总不能看着那么多高高举起的小手却把话筒收了起来，自己讲完吧？课堂是他们的。所以，到40分钟的时候，我完全可以说，今天这节课就上到这，至于“3的倍数”的道理是什么，我们下节课再研究，这完全可以。平时的课堂，老师明天还是会在的。只不过，今天是一个研讨活动，等下我就不在了，而我想把一个完整的思考留给大家去切片、去研究。
陈 静：其实我想，在这样的公开课现场，40分钟以后教学还在延续的情况时有发生。我们可能不能光聚焦在时间延迟上，而是看教学是否还有延续的必要。我曾经听齐华说，吴贤老师曾经有一次课上了80分钟。由此看来，今天你们已经很准时了。不知道关于课堂教学时间的问题，齐华是否还有补充？
张齐华：听了非常受启发。关于课堂时间，几乎是研讨会的“标配”问题。我有两点想法。第一点,其实也是一句俗话，很多人都懂这个道理，但是真正变成自己行为的时候是非常困难的。这句俗话是“磨刀不误砍柴工”。大家都懂是不是？但是当你每一天实实在在走进课堂的时候，想的是什么？是学生到底带了多少“柴”回去。我们的教参说得很清楚，今天必须带“8根柴”回去，可是我手里只有“4根柴”，还差“4根”，怎么办？我们还经常说“月月清，周周清，日日清，课课清”。第二点，以我们北京东路小学的一位教师为例，可能这种情况也比较极端，但是也特别能说明问题。她就是一个很普通的语文老师，一位班主任。她的做法，叫舍得浪费时间。而且，她不仅是舍得浪费时间，还主动浪费时间，勇于浪费时间。我们在日常工作中也发现一个奇怪的现象，很多老师一带班就乱，而有的老师只要一上手就一定不乱。这是值得我们切片研究的现象。我们就去观察，为什么这个语文老师一接手，这个班很快就不乱了呢？我们发现，每次她接手一年级班级的第一个星期，五节语文课，学生一个字也不认，一个拼音也不学，她就拿出整整一周的时间去抓常规，训练学生学会听、学会说，课间怎么办、课上怎么办，怎么去吃饭、排队等等。所以我想，像斯霞老师那样的名师也好，这样的普通老师也好，她们做的是同样的事情。有的老师可能会问：别的班都单元考试了，你们班还没开始学习，这能行吗？数据不用我说，她们当然行，而且很行。等别的班发现常规问题开始“救火”，开始埋怨生源差，“‘四大金刚’‘八大天王’都在我们班”的时候，她们所带班级快速向前了。实际上，她们班上也有“金刚”“天王”，只是在“金刚”“大王”还没发威时，就已经被驯化为“小猴”了。所以，厉害的老师知道用什么时间做什么事情。很多老师在整顿课堂秩序上花的时间一点都不少，为什么效果却很差？只是因为不知道在该花时间的时候要大把地去花时间。只有大量地投入时间以后，课堂才能按照既定的秩序向前推进。
陈 静：我非常赞同齐华的观点。只有把时间花在该花的地方，才会得到丰厚的回报。
张齐华：补充一点。刚刚老师提的问题是，我们花了这么多时间去训练学生表达，很可能就来不及上学科内容。大家有没有发现，课堂上，老师说得最多的一句话是“请把话说完整”，这几乎是我们数学课指导“表达”时说得最多的一句话，这甚至是一种要求。还有“谁能重复他的发言”“谁能再说一遍”等等。为什么学生不会把话说完整？今天呈现的只是一个结果，是你曾经种下的种子今天开花给你看，仅此而已。你要思考，你曾经种下的是一颗颗怎样的种子，你施了多少肥、浇了多少水，在他需要茁壮成长的时候，你是否给了他足够的阳光与养分？这就是“磨刀不误砍柴工”。班级常规是这样，课堂秩序是这样，表达难道不是这样吗？倾听难道不是这样吗？回过头来，吴老师与罗老师的课，包括我昨天的课，为什么会上成四五十分钟甚至五六十分钟？很简单，我们用这五六十分钟的时间干了人家一个礼拜的事情，我觉得我们效率真的很高。如果连这十分钟都不能容忍的话，那我真的很无辜了。开个玩笑，谢谢！
陈 静：不知道大家有没有回忆起这样一个细节，罗老师在课堂结束的时候，问了这样一个问题：“今天的课与平时的数学课有什么不同？”现场的老师们见证了北京东路小学学生的表达能力。他们一个接一个站起来，说得都很精彩，完全无视他们的数学老师坐在下面一脸悲催的表情（罗鸣亮老师在课堂的最后一个环节问学生：“今天的课与平时的数学课有什么不同？”学生的回答有“今天老师让我们提问”“今天老师没有告诉我们结论，而是让我们自己讨论”“今天老师说的都能听懂”“今天老师不要我们做题”“今天黑板属于我们，老师讲得少”“今天老师让我们解释而不是背”，等等）。但是，通过这两天的课程也能看出，学生的表达都是非常强的。我们私下也都很了解，每个班的班主任包括任课老师平时都非常注重学生的课堂表达。学生的表达不是一日之功。
罗鸣亮：我在这里先做道歉。其实我的本意不是评价原任教师。我们今天谈“倾听”“表达”“思考”，其实是在培养学生的学习力，我的本意是想让学生自己能够明白，什么才是学习，让他们体验学习的过程。只不过，这个班的学生胆子太大了，完全不顾自己的老师正坐在底下。但是这也反映出，这个班级的原任老师与学生之间的关系非常民主、和谐。所以，我觉得应该把掌声送给原任老师。
陈 静：其实罗老师完全不需要道歉，因为我们可以看到，学生今天在课堂上，完全不是看罗老师的脸色来回答，完全流露的是真心的感受，这很能说明他们这一节课的真实收获。
张齐华：因为今天的主题是“表达”，我就把这个点再“放大”一下。罗老师的问题是“今天的课与平时的数学课有什么不一样”。我为什么佩服这个班的学生？他们是真正的会听、会表达。因为这个问题本身指向“比较”，他们知道罗老师更希望他们说这节课有什么样的特质，如果学生只说 “我们充分地交流了”“老师允许我充分地提问”，这样的回答从表达上说是有问题的，因为问题指向的是“不一样”。所以抛开其他问题，至少说明这些学生精准地理解了老师，知道要回答这个问题，必须要说今天的课有什么特质，平时的课有什么特质，它们有什么不一样。所以，我要夸这些学生是真正会听、会表达。
罗鸣亮：说到这个问题，我再补充一下。其实我曾经遇到过更尴尬的事。我曾经用六年级的学生上这节课，也是在江苏的某个地方。有个学生也提出这个问题：“3的倍数为什么是看各个数位的和？”我问他：“你是今天有这个问题还是原来就有？”他回答我：“五年级就有了。”我说：“五年级就有了，当时为什么不提问？”他想了一下，回答：“不敢。”“为什么不敢？”“老师不让我们问。”这时候，旁边就有同学大声提醒他：“注意，老师在下面。”这个学生马上掩住嘴巴，坐下了。这个表达再也打不开了。
再说一个花絮。在这节课磨课的过程中，一天晚上我请教一个朋友，他问我：“你还有新课吗？”言外之意，如果还有新课，就换一节课，不要用这节课。我问为什么，他说：“学生听不懂的。”但是没办法，我确实没有新课了，而且第二天就要上了。第二天，我强忍痛苦上完这节课，不过，一个学生说的一句话感动了我，他说：“这节课颠覆了我对数学的理解，数学不是简单地记住公式就可以。”所以，我的本意是，学生要有这样的收获。
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陈 静：学生的表达一定是他学习的真实体会。学生有怎样的表达，完全依赖于我们老师呈现了怎样的课堂。刚才我们对“表达”这个关键词的研讨，已经帮我们现场的老师梳理了思路，我们的数学课堂究竟需要怎样的表达。本次论坛的名称是“求真悟道”，这个“悟”需要对课堂的深度研究。那么，如何去寻找研究的角度呢？数学的表达，你们准备从哪些角度切入呢？其实，当你学会从一个真实的问题生发自己深入的思考和研究的时候，编辑部的老师就特别开心，因为一篇论文的框架已经搭成了。今天课堂的精彩无须赘述，吴老师和罗老师可以就今天课堂的表达，选择一个自己做得不够到位的点或者最经典的地方来谈自己的想法。台下的老师可以就课堂中的问题，比如，某个环节如何让学生更好地表达，学生的表达不到位我们应该怎么办等，随时互动。
与会老师：我是南京市拉萨路小学的老师，是一位低年段的数学老师。吴老师说了一个词叫“神形兼备”。我把我的学生的课堂发言分为三级：第一级，声音响亮；第二级，语言流畅；第三级，自信满满。这是表达的“形”——只有声音响亮，别人才能听见；只有语言流畅，别人才能理解；只有自信满满，别人才能信服。而“神”，我觉得应该是“有理有据”。张老师说话为什么那么有魅力？一是言而有序，二是言而有理，三是言而有悟。有理有据的发言总能打动学生的心。今天有位老师说，我们平时的课堂只有40分钟，很多的理想没有办法实现，是因为我们没有“安全感”，我们一线教师受到各种各样的考核，压力自然是大于现在各位特级教师站在台上的压力。其实，我想除了言而有序、言而有理、言而有悟之外，我们也想40分钟“言而有信”。学生有今天的出彩表现，非一日之功，是老师们在身后的默默耕耘。走在这条路上，我们想做个平凡的老师，带给学生能够带在身上长久的数学能力，那就是言而有序、严而有理、言而有悟并且言而有信。
陈 静：数学老师拥有语文老师的表达，让我们感受到您的课堂一定非常精彩。您一定是齐华的粉丝吧？狠狠地夸了他一下，然后还抛给他一个“小砖头”，还要他“言而有信”。
与会老师：各位老师好，我是一位即将毕业的大学生。我想问下罗老师，今天的课是一堂“研究为什么”的课，每个学生的想法目标是一致的，每个学生可能想得都不完整，可能只有半句话，剩下的半句话可能表达不完整。这时候就需要倾听别人的想法，完善自己的表达。所以，罗老师就多次地问学生“你听懂了吗”。特别是讲到“3的倍数”的时候，有个学生不明白“为什么999α是3的倍数”，解释之后他说明白了，但是他只是复述之前上台学生的话。我觉得，这种“讨论为什么”的课，是不是侧重于研究“倾听”更合适？而昨天张老师的《用方向和距离确定位置》是一节“研究怎么办”的课，这种课研究的是数学的简便性，是在多种方法之中确定一种最简便的方法，一个学生可能不会想到所有的办法，就不能只是倾听其他同学的话，而是需要理解、表达其他同学的方法，才能选择一种最简便的方法。所以，是不是这堂课侧重于研究“表达”会更好？对于不同类型的课堂，我们对学生表达与倾听的指导是否应该有所侧重？
陈 静：他提的问题其实非常好。他问的其实是，在不同课型的数学课堂上，有的关注“为什么”，有的关注“怎么办”，我们对学生“倾听”“表达”的指导是否应该有侧重？
罗鸣亮：其实倾听、表达与思考本来就是一个完美的结合体，我们为了研讨，为了凸显主题，所以暂且割裂开，实际上在教学中是不能分割的。
与会老师：我的意思是是否要有所侧重？是让学生说得更多一点还是听得更多一点？
罗鸣亮：你有这样的意识很棒，慢慢去想吧。
张齐华：我觉得他确实抓住了重点，虽然他表层上是在谈，我们两个的课换一下。我们齐华名师工作室也正在做这样的研究，分为7个小组，其中一个小组专攻“表达”。我们反复强调，这个事不是三五天能搞定的，也不是三五个月能搞定的，有可能在未来的一年、两年甚至几年时间内，找到很多问题。确实，形式与内容是不可割裂的。什么样的内容可能会指向怎样的形式？我举个简单的例子。比如数学上，陈述性知识、程序性知识（或技能性知识）、原理性知识，这是三类不同的知识。陈述性知识的本质是“是什么”，就要让学生尽量说准确、说全面；程序性（技能性）知识的重点就不是说准确、说全面了，而是要说“先怎样”“再怎样”“然后怎样”，想一想“三位数减一位数，连续退位减”——先看个位，从个位减起；个位不够减，向十位借一，然后再看十位；最后去看百位，百位发生什么变化，应该怎么样——就明白这个道理了。而原理性知识，可能更多地需要“因为……所以……又因为……再因为……因此……所以我的结论是……”这样的表达。当然，不是要用固定的句式去框定它，但至少给我的启示是，不同的内容，指向不同知识的属性，学生在分享、表达和交流的过程中，是可以用不同的语言形式来进行深度表达的。
陈 静：所以，表达与交流是双向的，既要理解倾听，也要内化感受。倾听、表达、思考，是三位一体的。时间关系，我们请上课的两位老师再简要地谈一谈自己的想法、思路，并尽量地聚焦我们的研究主题。今天的主题是“表达”，听完今天的两节课以及今天的沙龙以后，在座的各位老师可能更为关注的是，对于今后的课堂，能否提供一些辅助的工具或策略。希望我们的专家能为在场的老师提供一些必要的信息或技巧。
吴 贤：第一，要想让学生有好的表达，首先要给学生好的研究方向。比如，我课堂上一开始的任务单，要求学生想象小船如何从1号位置平移到2号位置与3号位置，班上呈现的是完全不同的两种情况。第一次，我是直接把问题抛给了学生：“你们来看，小船是怎么从1号位置到2号位置的，怎么平移的？请试着用数学的方式来表达。”因为这个班不是我自己的班，课前我去了解了一下，三年级时他们已经学过物体的平移，做过很多这样的练习，就是一个圆片怎样从一个位置移到另外一个位置。当时学生是会表述的。现在要描述一个图形的平移，难度应该没有多大。于是，我就直接把问题抛给学生了。但课堂上我发现，学生的表达很难切中关键，抓不住点，因为他对图形平移的本质还不太清楚。所以，我加了一个小的任务一，让他们通过一组比较，去体会同样的平移有什么不同，这实际上就是在帮助学生理出平移的两个关键点——方向和距离。有了这个基础，全班能够准确或者基本准确表达的学生就非常多了。所以，要让学生更好地表达，需要有合适的问题去引领。第二，要让学生真实地表达。这是我上完今天这节课的新思考。在问学生“之前你是怎么想”的环节，大概有四五个学生其实一直在说一个想法，一直在说平移9格，只不过换成向东或向前，或者反向说“从左往右”。是不是班上就没有其他的想法呢？其实是有的，因为他们课前完成的学习单我都看过了。这也是表达的一个问题。我们一直强调关注形式、内容、方法，但前提是，他得说出真实的想法。而我们的课堂上，很多学生在揣摩老师，因为我请了第一个学生，他说了大部分学生的想法，所以后来的学生都在回避自己的想法。他发现好多人都是这么想的，“那我就不说了”，因为怕错，怕丢面子，更怕老师否认。这让学生难以发出真实的声音。其实这个班的学生，我感觉他们还是非常敢说的。我觉得，在我们关注表达的内容、形式和方法以外，我们要给学生更多的安全感，让他毫无顾忌地说出自己的真实想法。这样，才能继续谈所谓的表达。
陈 静：吴贤老师提出了两个观点，一个是好的表达要有好的问题，另一个是课堂上要有真实的表达。昨天齐华的《用方向和距离确定位置》课堂上有一个学生大家肯定印象颇深，就是“图片”（有位学生上台展示时，运用勾股定理进行计算，得出距离为图片）。有一个环节，在别的小组讲了“用尺子量”以后，齐华问“还有谁这样做的”，组里另外一个小男孩也举手了。但是当他们上来的时候，依然是“图片”抢夺了话语权。其实就像吴老师感受到的一样，在课堂上，学生可能因为各种各样的原因，而不敢表达。所以，我想我们要重视课堂上表达氛围的营造，保护每一个学生表达的欲望，“即使我不赞同你的观点，我也誓死捍卫你说话的权利”。
罗鸣亮：讲两个问题。第一个，为什么要有这节课；第二个，我为什么这样上。我先问下大家，你们上过这节课吗？你们觉得这节课有必要上吗？我为什么会上这节课，原因很简单。在一次听课的过程中，我发现学生对3的倍数这个问题有点茫然，我提醒他提问，他却不敢提问。我一再暗示他举手，这个学生终于向老师悄悄地勾手。老师走过去——这个老师很有经验——他先把话筒关掉，然后俯下头去问他：“什么事？”学生看见话筒关掉，也小声说：“老师，3的倍数为什么是看各个数位的和？”这个老师抬起头，看了我一眼，我假装没看他们。这下老师放心了，就跟学生说：“你管它为什么，记住怎么判断就可以了。”我刚当教研员的时候，一直想，评课时我要“尖锐”一点。这么多年，我越来越发现，不能随便“尖锐”，因为每个人的想法都有偏见；我才知道我的前辈们为什么都在台上说好话，因为不同的角度，思考会不一样。评课时我表扬了他，然后他非让我提个建议，我就说：“请问林老师，3的倍数为什么是看各个数位的和？”老师很尴尬地笑了：“罗老师，刚刚小朋友提的问题被你听到了。”他说：“小朋友问我，我确实不知道，我又不好意思说不知道，我只能那样跟他说。”我又问台下的老师，台下举手的老师也寥寥无几。他们用的都是人教版教材，人教版教材中有个栏目叫《你知道吗》，对这个问题进行了明确的解释，而我们的老师却直接略过了，因为这个栏目的内容不考。不考就不教。当然，不懂这个道理也没关系，照样可以好好地当老师。所以这节课，不是要让学生必须明白这三个道理，只不过，学生敢于提出困惑，我们的课堂就成功了一半。这就回到昨天，郭老师说的让我很认同的一句话，不管是倾听、表达，都必须有任务驱动，而且是发自内心的、真实的任务驱动。有任务驱动，才有表达和倾听的欲望。再者，当任务出来，让学生独立思考，不同的学生会有不同的想法。北京东路小学的学生确实棒，好多地方的学生只能说到“因为5乘任何数个位不是0就是5”——这还是从原有的归纳出发的——而今天，学生冷不丁就把位值制说出来了，甚至1000ɑ都来了，这本来是我最后的总结，所以你们有没有发现，最后我的课件我都找不到了，我都没办法跟上他们了。所以，他们敢提问、有思考、会表达、能倾听，这是我这节课的目标。我最近在做“说理课堂”的研究，与“学会表达”正好有些吻合。我对自己的要求是：第一，话少一些，再少一些，把课堂时间还给学生。第二，问少一些，有质量一些，把完整的思考留给学生。好多时候我都想继续追问，但想想还是还给学生吧。昨天还有一句话让我很认同，“相信学生”。第三，面广一些，再等一些，把表达机会抛给学生。我多年前看过特级教师潘小福老师的一篇文章《学生表达能力的培养》，其中就有一个观点：我们老师的问题问出来，都想让学生马上举手回答，恰恰是没有把思考的机会留给他们，没有等待他们，所以学生表达的机会就越来越少。所以，我对自己的要求是，课堂上少评价、递话筒、克制教。不过，今天还是有个地方没克制住，跑到台上把卡片拎出来了，马上又想到“克制教”这三个字，我又退回来——这一进一退，就把学生给蒙住了。本来我的课堂很流畅，就是按照“现在如果是1呢？3呢？现在呢……现在呢……”这样的流程不断地追问，结果肯定是很圆满的，但这是曾经的我。我想向贲老师、向齐华、向江苏老师学习的是，多给学生交流、倾听、表达的机会。谢谢！
陈 静：罗老师一席精彩的发言我非常认同。因为像罗老师、贲老师、齐华等等这些大咖，他们在课堂上都尽量给学生提供更广阔的空间，少问一些，少说一些，再等一些，让学生的倾听、表达和思考更充分。今天这场沙龙，研讨得非常充分。我们的数学课堂追求的是有学科特点的表达。当我们更多地关注“表达”这个点的时候，就会逐渐走向数学课堂的深度表达。我认为，这个深度，是从自言自语的表达（只顾着自己说，而缺少与同伴的交流或不顾及别人的感受），到目中有人的表达，最后走向心中有据的表达（有理有据，把内容说准确，阐述有条理，结论要符合数学的逻辑推理）。我想，每一位老师对课堂的研究都不会止步于今天，今天的研讨仅仅是序幕和开始。让我们再次把掌声送给台上的各位老师！