数值分析第七章节 用Python实现非线性方程与方程组的数值解法

参考书籍：数值分析 第五版 李庆杨 王能超 易大义编 第7章 非线性方程与方程组的数值解法
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7.1方程求根与二分法：太简单了(程序设计竞赛这些都是基本)。直接跳过。注意一下一些概念。
7.2不动点迭代法及其收敛性：7.2.1不动点与不动点迭代法： $f(x)=0$恒等变为 $x=\phi (x)$。用迭代方程 $x_{k+1}=\phi (x_k)$， $x_{(0)}$随便选。如 $\underset{k\to \infty }{\lim }{x}_k=x^{\ast }$，则称迭代方程收敛；反之，发散。7.2.2不动点的存在性与迭代法的收敛性：定理1 设 $\phi (x)\in C[a,b]$满足以下两个条件：(1)对任意的 $x\in [a,b]$有 $a\le \phi (x)\le b$(2)存在正常数 $L<1$，使对任意 $x,y\in [a,b]$都有 $|\phi (x)-\phi (y)|\le L|x-y|$，则 $\phi (x)$在 $[a,b]$上存在唯一的不动点 $x^{\ast }$。证明可以看下，不是特别困难。7.2.3局部收敛性与收敛阶：不作讨论。

迭代法求解$x{e}^x-1=0$

from math import e
x=0.5
print(f"k={0:02d},{x:.10f}")
for i in range(10):
    x=1/pow(e,x)
    print(f"k={i+1:02d},{x:.10f}")

7.3迭代收敛的加速方法：不作讨论
7.4牛顿法：7.4.1牛顿法及其收敛性：牛顿法$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^{\prime }(x_k)},k=0,1,\dots ,$(又切线法)
7.4.2牛顿法的应用举例：不作讨论。7.4.3简化牛顿法与牛顿下山法。牛顿法的优点是收敛快，缺点是每步迭代要计算$f(x_k)$及$f^{\prime }(x_k)$，计算量较大且有时$f^{\prime }(x_k)$计算较困难；二是初始近似$x_0$只在根$x^{\ast }$附近才能保证收敛，如$x_0$给的不合适可能不收敛。为克服这两个缺点，通常可用下述方法。简化牛顿法$x_{k+1}=x_k-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}f(x_k)$；牛顿下山法$x_{k+1}=x_k-\lambda f(x_k)$。$\lambda$为下山因子，从1开取，逐次减半，直到满足条件$|f(x_{k+1})|<|f(x_k)|$止。

牛顿法求解$x{e}^x-1=0$

from math import e
def func(x):
    return x-(x*pow(e,x)-1)/(pow(e,x)*(1+x))
x=0.5
print(f"k={0:02d},{x:.10f}")
for i in range(10):
    x=func(x)
    print(f"k={i+1:02d},{x:.10f}")

简化牛顿法求解$x{e}^x-1=0$

from math import e
def func(x):
    return x*pow(e,x)-1
x=0.5
print(f"k={0:02d},{x:.10f}")
C=1/(pow(e,x)*(1+x))
for i in range(10):
    x=x-C*func(x)
    print(f"k={i+1:02d},{x:.10f}")

算了，开摆。就这样吧，不想写了。