秋招算法备战第29天 | 491.递增子序列、46.全排列、47.全排列 II
491. 递增子序列 - 力扣（LeetCode）
这个问题可以使用回溯算法来解决。回溯法主要是解决一个全排列问题，通过不断试错，然后回退状态、再次试错的方式，搜索答案的过程。对于本题，我们需要找到所有的递增子序列，为了避免重复，我们需要一些特殊的处理。
我们可以首先定义一个结果列表res来保存所有的子序列，然后定义一个回溯函数，这个函数接受一个起始位置和一个当前的子序列。在函数中，我们首先检查当前的子序列是否为递增子序列，如果是，就将其添加到结果中（这里注意我们要从第二个元素开始添加，因为题目要求至少有两个元素）。然后我们从起始位置开始，遍历到数组的结尾，如果当前元素大于等于子序列的最后一个元素，我们将其添加到子序列中，并递归调用回溯函数。为了避免重复，我们需要在每一轮的开始时记录下当前的子序列的长度，然后在添加元素后，如果子序列的长度没有增加，我们就跳过这个元素。
下面是Python代码：
def findSubsequences(nums):
res = []
def backtrack(start, path):
if len(path) > 1:
res.append(path[:])
uniq = set()
for i in range(start, len(nums)):
if nums[i] in uniq:
continue
if not path or nums[i] >= path[-1]:
uniq.add(nums[i])
backtrack(i + 1, path + [nums[i]])
backtrack(0, [])
return res
在这个代码中，我们首先定义了一个结果列表res，然后定义了一个回溯函数backtrack。在backtrack中，我们首先检查当前的子序列是否满足条件，如果满足就添加到结果中。然后我们从起始位置开始，遍历到数组的结尾，对于每一个元素，我们首先检查它是否已经被添加过，如果已经被添加过，我们就跳过。然后如果这个元素大于等于子序列的最后一个元素，我们就将其添加到子序列中，并递归调用backtrack。
46. 全排列 - 力扣（LeetCode）
这个问题可以用回溯算法来解决。算法的主要步骤是，从输入数组中选择一个数字，将其添加到当前的排列中，然后从剩余的数字中继续选择，直到所有的数字都被选择为止。每次选择完成后，需要进行回溯，将选择的数字从当前排列中移除，然后选择其他的数字。
下面是Python中的一个解决方案：
def permute(nums):
def backtrack(first = 0):
# 所有数都填完了
if first == n:
res.append(nums[:])
return
for i in range(first, n):
# 动态维护数组
nums[first], nums[i] = nums[i], nums[first]
# 继续递归填下一个数
backtrack(first + 1)
# 撤销操作
nums[first], nums[i] = nums[i], nums[first]
n = len(nums)
res = []
backtrack()
return res
在这个函数中，我们首先定义了一个回溯函数。在这个函数中，我们首先检查是否所有的数字都已经被选择，如果是，就将当前的排列添加到结果中。然后，我们遍历从first到n的所有数字，将它们一个个添加到当前的排列中，然后递归调用backtrack。在递归调用结束后，我们需要将之前的选择撤销，以便在下一次迭代中选择其他的数字。
如果我们不希望使用交换来实现，可以选择通过维护路径和选择列表的方式来进行。代码如下：
def permute(nums):
def backtrack(nums, path):
# 结束条件
if not nums:
res.append(path)
return
# 选择列表
for i in range(len(nums)):
# 做选择
backtrack(nums[:i]+nums[i+1:], path+[nums[i]])
res = []
backtrack(nums, [])
return res
这个版本的实现中，我们的backtrack函数接受两个参数，nums代表当前可选择的数字，path代表已经选择的路径。在每次调用backtrack时，我们遍历所有nums中的数字，对于每个数字，我们将其加入到path中，然后在nums中移除它，递归调用backtrack。这样，我们就不需要使用交换来动态维护数组了。
47. 全排列 II - 力扣（LeetCode）
这个问题是之前问题的扩展，区别在于数组中可以包含重复的数字。解决这个问题的基本思路与之前的相同，也是使用回溯算法，但是我们需要处理重复的数字。
在处理重复数字时，我们需要对数组进行排序，这样相同的数字就会被放在一起。然后在每次从剩余数字中选择数字时，我们需要跳过与前一个数字相同的数字。
下面是使用Python实现的解决方案：
def permuteUnique(nums):
def backtrack(nums, path):
# 结束条件
if not nums:
res.append(path)
return
# 选择列表
for i in range(len(nums)):
# 去重
if i > 0 and nums[i] == nums[i-1]:
continue
# 做选择
backtrack(nums[:i]+nums[i+1:], path+[nums[i]])
nums.sort() # 首先排序
res = []
backtrack(nums, [])
return res
在这个解决方案中，我们首先对数组进行了排序，然后定义了一个回溯函数。在这个函数中，我们首先检查是否所有的数字都已经被选择，如果是，就将当前的排列添加到结果中。然后，我们遍历所有剩余的数字，如果当前的数字和前一个数字相同，我们就跳过这个数字。对于每个数字，我们将其加入到当前的排列中，然后在剩余的数字中移除它，然后递归调用回溯函数。
组合与排列的区别
组合问题和排列问题是组合数学中的两类重要问题，它们有以下的主要区别：
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顺序的重要性：
- 在排列问题中，元素的顺序是重要的。也就是说，对于相同的元素，不同的顺序被视为不同的排列。例如，[1, 2]和[2, 1]被视为两个不同的排列。
- 在组合问题中，元素的顺序是不重要的。也就是说，对于相同的元素，不论它们的顺序如何，都被视为相同的组合。例如，[1, 2]和[2, 1]被视为同一个组合。
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求解方法：
- 对于排列问题，我们通常使用回溯法进行求解，每次选择一个元素添加到当前的排列中，然后从剩余的元素中继续选择。
- 对于组合问题，我们也通常使用回溯法进行求解，不过在每次回溯时，我们只考虑当前元素之后的元素，这样可以避免产生重复的组合。
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问题的实例：
- 排列问题的典型实例是全排列问题，即从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列。
- 组合问题的典型实例是组合数问题，即从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，不考虑其顺序。
总的来说，排列和组合是解决问题的两种不同的思路，应用于不同的场景。在解决实际问题时，需要根据问题的具体要求来选择使用排列还是组合。
总结
Summary
本文介绍了三个使用回溯算法解决的问题，包括寻找递增子序列、全排列、和包含重复数字的全排列。回溯算法通过不断试错、回退状态、再次试错的方式搜索答案，适用于排列和组合问题。
Facts
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491. 递增子序列 - 力扣（LeetCode）
- 使用回溯算法找到所有递增子序列。
- 定义结果列表res保存所有子序列，定义回溯函数接受起始位置和当前子序列。
- 检查当前子序列是否为递增子序列，若是，将其添加到结果中（注意从第二个元素开始添加）。
- 从起始位置开始，遍历数组，若当前元素大于等于子序列的最后一个元素，将其添加到子序列中，并递归调用回溯函数。
- 避免重复：记录每轮开始时当前子序列的长度，添加元素后若长度未增加，则跳过该元素。
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46. 全排列 - 力扣（LeetCode）
- 使用回溯算法找到数组的所有排列。
- 定义回溯函数，从输入数组中选择一个数字添加到当前排列中，然后继续选择剩余数字，直到所有数字都被选择。
- 每次选择完成后进行回溯，撤销选择的数字，然后选择其他数字。
- 可以使用交换操作或维护路径和选择列表来实现。
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47. 全排列 II - 力扣（LeetCode）
- 是全排列问题的扩展，数组可以包含重复的数字。
- 使用回溯算法解决，需要对数组进行排序，使相同数字相邻。
- 在选择数字时跳过与前一个数字相同的数字，以处理重复数字。
以上是使用Python实现的解决方案，涵盖了回溯算法在不同问题上的应用。