【打表计划】【小澳的坐标系】 矩阵快速幂

【打表计划】

题目描述

CYR 想打 n个表，他一次可以打一个、两个、三个或四个表，求他打 n 个表的方案总数。

输入格式

一行一个整数 n，表示 CYR 想打的表的数量。

输出格式

一行一个整数，表示 CYR 打表的方案数，答案对2769433 取模。

测试样例

样例输入
4

样例输出
8

数据范围与提示

对于 30% 的数据，n≤5；
对于 50% 的数据，n≤10 ^ 5​​；
对于 80% 的数据，n≤10 ^ 9；
对于 100% 的数据，n≤10 ^ 16​​。

我本来以为这道题是跟跳台阶一样的水题【naive】，结果是矩阵快速幂，可是我矩乘和快速幂都不会啊【滑稽*n】

//代码主要是抄Menci和Rachel的qnq 

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int MOD = 2769433;
long long n;

struct Matrix {
    long long a[4][4];

    Matrix ()
    {
        memset(a, 0, sizeof(a));
    }
};

Matrix operator* (const Matrix &a, const Matrix &b)
{
    Matrix res;
    for (int i = 0; i < 4; i++)
    {
        for (int j = 0; j < 4; j++)
        {
            for (int k = 0; k < 4; k++)
            {
                res.a[i][j] = (res.a[i][j] % MOD + (a.a[i][k] % MOD * b.a[k][j] % MOD) % MOD) % MOD;
            }
        }
    }
    return res;
}

Matrix pow(Matrix a, long long n)
{
    Matrix res;
    if (n == 0)
    {
        res.a[0][0] = res.a[1][1] = res.a[2][2] = res.a[3][3] = 1; //单位矩阵 相当于1，也就是每个数乘它都得到自己本身 
        return res;
    }
    else if (n % 2 == 1)
    {
        return pow(a * a, n / 2) * a;
    }
    else
    {
        return pow(a * a, n / 2);
    }
}

int main()
{
    scanf("%lld", &n);

    if (n == 0)
    {
        printf("1\n");
    }
    else if (n == 1)
    {
        printf("1\n");
    }
    else if (n == 2)
    {
        printf("2\n");
    }
    else if (n == 3)
    {
        printf("4\n");
    }
    else if (n == 4)
    {
        printf("8\n");
    }

    else
    {
        Matrix t, s;

        s.a[0][0] = 1, s.a[1][0] = 2, s.a[2][0] = 4, s.a[3][0] = 8;

        t.a[0][0] = 0, t.a[0][1] = 1, t.a[0][2] = 0, t.a[0][3] = 0;
        t.a[1][0] = 0, t.a[1][1] = 0, t.a[1][2] = 1, t.a[1][3] = 0;
        t.a[2][0] = 0, t.a[2][1] = 0, t.a[2][2] = 0, t.a[2][3] = 1;
        t.a[3][0] = 1, t.a[3][1] = 1, t.a[3][2] = 1, t.a[3][3] = 1;

        s = pow(t, n - 4) * s;

        long long ans = s.a[3][0];

        printf("%lld\n", ans);
    }
}

我一开始想的是开两个结构体，因为有两个不同形状的矩阵嘛【滑稽】，但其实开一个结构体就行了，就是大的那个矩阵的形状，小的也用那个，不足的就直接补零了，方便了好多。

【小澳的坐标系】

题目描述

小澳的梦境中出现了一个平面直角坐标系，自原点，向四方无限延伸。

小澳在坐标系的原点，他可以向上、向左或者向右走。他可以走 n 步，但不能经过相同的点。

小澳想知道他有多少种走法。

输入格式

输入文件仅第一行一个正整数 n ，表示小澳可以走的步数。

输出格式

输出文件共一行，输出一个正整数，表示答案（对10 ^ 9 + 7取模）。

测试样例

样例输入 1
2

样例输出 1
7

样例输入 2
3

样例输出 2
17

数据范围与提示

测试点编号
n
1−2 n≤10
3−4 n≤100
5−6 n≤1000
7−8 n≤10 ^ 6​​
9−10 n≤10 ^ 9

//代码还是主要抄Menci和Rachel的qnq 我已经是个废鱼了qnq 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int MOD = 1e9 + 7;

struct Matrix {
    long long a[2][2];

    Matrix()
    {
        memset(a, 0, sizeof(a));
    }
};

Matrix operator*(const Matrix &a, const Matrix &b)
{
    Matrix res;
    for (int i = 0; i < 2; i++)
    {
        for (int j = 0; j < 2; j++)
        {
            for (int k = 0; k < 2; k++)
            {
                res.a[i][j] = (res.a[i][j] % MOD + (a.a[i][k] % MOD * b.a[k][j] % MOD) % MOD) % MOD;
            }
        }
    }
    return res;
}

Matrix pow(Matrix a, long long n)
{
    Matrix res;
    if (n == 0)
    {
        res.a[0][0] = res.a[1][1] = 1;
        return res;
    }
    else
    {
        if (n % 2 == 1)
        {
            return pow(a * a, n / 2) * a;
        }
        else
        {
            return pow(a * a, n / 2);
        }
    }
}

int main()
{
    //freopen("coordinate.in", "r", stdin);
    //freopen("coordinate.out", "w", stdout); 
    long long n;
    scanf("%lld", &n);

    if (n == 1) printf("3\n");
    else if (n == 2) printf("7\n");

    else
    {
        Matrix t, s;

        t.a[0][0] = 3; t.a[1][0] = 7;

        s.a[0][0] = 0; s.a[0][1] = 1;
        s.a[1][0] = 1; s.a[1][1] = 2;

        t = pow(s, n - 1) * t; //不懂 

        long long ans = t.a[0][0] % MOD; //不懂 

        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}

两道题我都是照着题解写的【辣鸡】，转移矩阵自己没推，不过自己凑一个只要满足要求就行。就像小澳的坐标系，题解的转移矩阵是【1,1】【2,1】，i在上，i - 1在下，而Rachel的是【0,1】【1,2】，是i - 1再上，i在下，都能A。
当n=0时的单位矩阵是我没有想到的，就是找一个矩阵让它乘自己自己不变。
还有转移矩阵一般都是方的

pow还可以写成

orz pow(orz a, int u)
{
    orz res;
    res.a[0][0] = res.a[1][1] = 1;

    for (; u; u >>= 1, a = a * a) if (u & 1) res = res * a;
    return res;
}

//代码大都不是我自己写的，侵删