组合数学-排列公式优化

一般的排列组合计数公式

分两种情况：

1.从N个不同的物品中取出K个物品，考虑其次序，有P[N][K]中情况，P[N][K] = N! / (N-K)!

2.从N个不同物品中取出K个物品，不考虑次序，有C[N][K]中情况，C[N][K] = N! / (K! * (N-K)!)

那么在写程序的时候，我们把公式变成代码的时候，可以有两种方法来编写代码优化计算组合数

1.及时相除

对于r个连续自然数(n-r+1),(n-r+2)，... ，n，必定有一个数能被r整除，也必定有一个数能被r-1整除，以此类推。因此，在运算过程中，按照分母从大到小，及时进行分子与分母的相除运算，然后连乘r个整商。(字面意思可能不是很好理解，代码可能更好理解一些)

2.二项式系数公式

C[i][j] = C[i-1][j] + C[i-1][j-1] , C[i][0] = 1 ; （还记得嘛？高中学过的！）

这里给出两道题目，分别用两种方法运算组合数。

题目1：

给定N，K，计算有多少中方法从N个不同元素中不考虑顺序的选择K个元素。结果小于2^31（N>1, 0<= K <=N）

解析：

注意此题结果小于2^31，设计算法也要保证所有中间结果也要在这之内，不然会存不下，直接运用方法一即可，及时进行分子分母的相除运算。

代码：

#include 
using namespace std;
typedef long long int64;
int64 solve(int64 n, int64 k)
{
    if (k > n / 2) //排列组合，减少枚举量
        k = n - k;
    int64 a = 1;  //分子
    int64 b = 1;  //分母
    for (int i = 1; i <= k; i++)  //进行K次运算
    {
        a *= (n + 1 - i);
        b *= i;        //连乘分母与分子
        if (a % b == 0)//做整商处理
        {
            a /= b;
            b = 1;
        }
    }
    return a / b;
}
int main()
{
    int64 n, k;
    cin >> n >> k;
    cout << solve(n, k) << endl;
    return 0;
}

题目2：

快速计算从N间物品中去K间物品，求取法？输入N和K，请您计算C = N! / (N-M)! * M!（5<=K<=N<=100 ）提示：100! = 93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000

解析：

根据二项式系数公式C[i][j] = C[i-1][j] + C[i-1][j-1]. 初始时，设C[i][0] = 1。然后双重枚举 i 和 j 直接递推即可。对于多组输入要求，可直接离线计算出所有的C[i][j]，然后对于每一对输入直接输出即可。

代码：

#include 
using namespace std;
typedef long long int64;
int64 c[110][110];
void solve()
{
    //离线计算范围内所有值
    for (int i = 0; i < 110; i++)
        c[i][0] = 1;
    for (int i = 1; i < 110; i++)
        for (int j = 1; j < 110; j++)
            c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j]; //递推关系
}
int main()
{
    solve(); //预处理
    int k, n;
    while (cin >> n >> k)
    {
        if (!n)
            break;
        cout << c[n][k]; //输出答案
    }
    return 0;
}

以上即是排列组合的计算公式两种优化方法，可以在理解板子的基础上做些题，实际的题目中还是要灵活运用。有不懂的地方私聊我，还请各位同学指出我的疏漏错误及不足之处，谢啦。
接下来的博客介绍几种特殊的排列组合数，敬请期待....

更新补充：多重集的排列数

问题背景：
现在有3个红球，2个白球，你要将这5个球排成一行，请问有多少种排列方式？
答案是10种。

这样的问题就称之为多重集的排列数，在这N个元素种a[i]重复的次数c[i]称为a[i]的重数。若有这样一个多重集S=(c[1]a[1]，c[2]a[2].....c[k]*a[k])共有N个数字，那么这个多重集的排列数为n! / (c[1]! * c[2]! *...c[n]!)