樊顺厚-《高等数学》-99~100

99 不定积分的概念

不定积分是求导数的原函数。
一、原函数与不定积分的概念

Def1、若在区间I上，有F(x),f(x) 之间满足F'(x)=f(x), Vx ∈I，
称F(x)为f(x)的一个原函数。

例 （sinx)'=cosx
称 sinx是cosx的原函数。
例 (sinx+6)'=cosx
称 sinx+6是cosx的一个原函数。

sinx+c也是cosx的原函数。

Th(原函数存在定理）

在区间I上连续的函数f(x),一定有原函数。
f(x)在I上连续，一定有F(x),使F'(x)=f(x)
(F(x)+c)=f(x);

证：设 G(x)也是f(x)的一个原函数，G'(x)=f(x).
[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0
G(x)-F(x)=C
因为 G(x)=F(x)+C
已知f(x)的一个原函数F(x),f(x)的所有的原函数集合{F(x)+C} c为任一常数。

Def2: 在区间I上，函数f(x)的带有任意常数的原函数称为f(x)在区间I上的不定积分，记作
如果F(x)是f(x)的一个原函数，
∫f(x)dx=F(x)+C

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例 （sinx)'=cosx
∫cosxdx=sinx

P100 基本公式