薄膜比拟、开口截面扭转承载力以及风电混塔水平缝张开状态下抗扭承载力推导
文章目录
- 0. 背景
-
- 0.0 参考文献
- 0.1 背景描述
- 0.2 薄膜比拟
- 1. 薄膜挠度与扭转应力函数的微分方程
- 2. 狭长截面杆的扭转
- 3. 开口截面扭转的结论
- 4. 风电混塔水平缝张开状态下的抗剪承载力推导
0. 背景
0.0 参考文献
- Concrete Structures for Wind Turbines
- Design aspects of concrete towers for wind turbines
- 刘鸿文,《高等材料力学》
0.1 背景描述
文献[1][2]均给出了混塔水平缝张开状态下的抗扭承载力，但是这些结论如何得来的却并未给出过多解释。经过深入挖掘，终于找到了完整的脉络，本文将从薄膜比拟谈起，完成文献[1][2]给出的混塔水平缝张开状态下的抗扭承载力公式推导。
- 20230725记：今天突然发现吴家龙著的《弹性力学》有矩形截面扭转的更一般结论。这个问题有空再详细讨论，在这里先记一笔。
0.2 薄膜比拟
本小节内容引自文献[3]
当受扭杆件的截面形状比较复杂时，求得问题的解析解是十分困难的。薄膜比拟法不但有助于问题的求解，而且提供了一个试验方法的基础。
由于薄膜的挠度和扭转应力函数所对应的微分方程以及边界条件（选择恰当时）相同，那么就可以利用薄膜挠曲面的几何性质得出关于扭转的一些重要结论。
1. 薄膜挠度与扭转应力函数的微分方程
具体推导过程就不在这里赘述了，感兴趣的可以看文献[3]第九章，里面交代的很清楚。
如图1所示，在平板上开孔，使孔的形状和受扭杆件的横截面的形状相同。以均质薄膜张紧于孔的边界上，在均匀压力 p p p的作用下，使薄膜产生微小挠度 z z z，单位长度内的拉力为 T T T。
于是，有竖向力平衡可以得出：
∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 = − p T (1) \frac{\partial^2z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2z}{\partial y^2}=-\frac{p}{T} \tag{1} ∂x2∂2z+∂y2∂2z=−Tp(1)
并且边界上有 z = 0 z=0 z=0。
与之对应的是扭转应力函数 Φ （ x ， y ） \Phi（x，y） Φ（x，y）的微分方程：
∂ 2 Φ ∂ x 2 + ∂ 2 Φ ∂ y 2 = − 2 G θ (2) \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial y^2}=-2G\theta \tag{2} ∂x2∂2Φ+∂y2∂2Φ=−2Gθ(2)
并且在边界上有 Φ = 0 \Phi=0 Φ=0。
据此会得出的一个重要结论就是：薄膜挠曲面与平面 z = 0 z=0 z=0间的体积的两倍对应于杆件截面上的扭矩。
必须注意的是 θ \theta θ指的是单位长度的扭转角，具有 L − 1 L^{-1} L−1次的量纲。如果认为 θ \theta θ仅仅只是角度而没有量纲，后续的推导会出现量纲不齐的现象。
2. 狭长截面杆的扭转
图2（a）为狭长截面杆的横截面示意图，图2（b）为对应的薄膜模型。
这一节主要思路就是找出该问题对应的薄膜问题，然后通过薄膜比拟求出相应的扭转问题的物理量（主要就是把薄膜问题中的 p / T p/T p/T换成 2 G θ 2G\theta 2Gθ）。这里只是放结论，具体推导可以翻阅文献[3]第九章。
薄膜挠度方程为：
z = p 2 T ( c 2 4 − x 2 ) (3) z=\frac{p}{2T}(\frac{c^2}{4}-x^2) \tag{3} z=2Tp(4c2−x2)(3)
对应的扭转应力函数为：
Φ ( x , y ) = G θ ( c 2 4 − x 2 ) (4) \Phi(x,y)=G \theta (\frac{c^2}{4}-x^2) \tag{4} Φ(x,y)=Gθ(4c2−x2)(4)
于是：
τ m a x = − ∂ Φ ∂ x ∣ x = c 2 = G θ c (5) \tau_{max}=-\frac{\partial \Phi}{\partial x}|_{x=\frac{c}{2}}=G \theta c \tag{5} τmax=−∂x∂Φ∣x=2c=Gθc(5)
M = 2 ∬ A Φ ( x , y ) d x d y = 1 3 G b c 3 θ (6) M=2\iint\limits_{A}^{}\Phi(x, y) dxdy =\frac{1}{3} G b c^3 \theta\tag{6} M=2A∬Φ(x,y)dxdy=31Gbc3θ(6)
所以由式（5）、（6），有：
τ m a x = M 1 3 b c 2 (7) \tau_{max}=\frac{M}{\frac{1}{3}bc^2} \tag{7} τmax=31bc2M(7)
3. 开口截面扭转的结论
对于这部分，我直接把文献[3]的内容截图放上来吧！图3中所说的公式（9-19）对应的就是本文式（7）。
至此，解决了开口截面抗扭承载力的理论基础。事实上这个结论在很多材料力学教材中是作为练习题出现的，也就是说只看结论的话也是可以找到的。但是，截至目前，只在刘鸿文先生的作品中找到其来源。
4. 风电混塔水平缝张开状态下的抗剪承载力推导
对于风电混塔水平缝张开状态，其最大剪应力应该满足：
τ m a x ⩽ μ ⋅ σ N (8) \tau_{max} \leqslant \mu \cdot \sigma_{N} \tag{8} τmax⩽μ⋅σN(8)
μ \mu μ, σ N \sigma_{N} σN分别为摩擦系数和水平截面法向应力。
结合式（7），可以得到：
M ⩽ μ ⋅ σ N ⋅ 1 3 b c 2 = μ ⋅ F N d ⋅ c 3 (9) M \leqslant \mu \cdot \sigma_{N} \cdot \frac{1}{3}bc^2=\mu \cdot F_{Nd} \cdot \frac{c}{3} \tag{9} M⩽μ⋅σN⋅31bc2=μ⋅FNd⋅3c(9)
这里， c c c即为塔筒的壁厚 t t t。