2021-08-12-01
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 图形的全等与相似 P007 例10）
如图,在三角形的内部有四个半径相等的,,,.,其中,,均与三角形的两边相切,且与外切.证明:三角形的内心外心和在一条直线上.
证明
如图,设三角形的内心为,外心为,连结、、、、、、、、.
因为三角形的三边与,,相切,所以在上,在上,在上.
设圆的半径为,注意到是圆和圆的公切线,且圆和圆是等圆,所以和到的距离都是.
故,同理,,.
所以.
故三角形与三角形关于位似因为,所以是三角形的外心,又是三角形的外心,所以、、在一条直线上.
2021-08-12-02
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 图形的全等与相似 P007 例11）
求证:Euler公式,即.其中分别为的外心和内心,分别为的外接圆和内切圆半径.
证明
如图,延长交于,作的对径点,作于,连结、、,则有,于是.
不难证明,即,由,知
.
2021-08-12-03
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 图形的全等与相似 P007 例12）
求证:圆外切四边形的圆心位于两个对角线中点的连线上.(牛顿定理)
证明
如图,设四边形内切圆圆心为,中点为,中点为,设延长线和延长线交于点,过作与垂直的交于,交于,注意到,,,,从而,.
即,于是
,
同理可证,.
于是,(这里的相似是两个线段间的相似,分的比等于分的比),注意到两相似图形的对应顶点连线中点构成的图形与原来两个图形相似,则有构成线段,且有.
2021-08-12-04
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 图形的全等与相似 P008 例13）
设四边形内接于圆,延长线与延长线交于,延长线与延长线交于,中点为,中点为.求证:.
证明
如图,首先延长交于,为牛顿线(、、中点共线,称为牛顿线),于是为中点,下面证明
.
取中点,由于,,从而,,故.
于是,即.
同理,,两式相减即得原命题.