P3373 【模板】线段树 2（乘法与加法）（内附封面）

【模板】线段树 2

题目描述

如题，已知一个数列，你需要进行下面三种操作：

• 将某区间每一个数乘上 $x$；
• 将某区间每一个数加上 $x$；
• 求出某区间每一个数的和。

输入格式

第一行包含三个整数 $n,q,m$，分别表示该数列数字的个数、操作的总个数和模数。

第二行包含 $n$ 个用空格分隔的整数，其中第 $i$ 个数字表示数列第 $i$ 项的初始值。

接下来 $q$ 行每行包含若干个整数，表示一个操作，具体如下：

操作 $1$： 格式：1 x y k 含义：将区间 $[x,y]$ 内每个数乘上 $k$

操作 $2$： 格式：2 x y k 含义：将区间 $[x,y]$ 内每个数加上 $k$

操作 $3$： 格式：3 x y 含义：输出区间 $[x,y]$ 内每个数的和对 $m$ 取模所得的结果

输出格式

输出包含若干行整数，即为所有操作 $3$ 的结果。

样例 #1

样例输入 #1

5 5 38
1 5 4 2 3
2 1 4 1
3 2 5
1 2 4 2
2 3 5 5
3 1 4

样例输出 #1

17
2

提示

【数据范围】

对于 $30\%$ 的数据：$n\le 8$，$q\le 10$。
对于 $70\%$ 的数据：$n \le 10^3 $，$q \le 10^4$。
对于 $100\%$ 的数据：$1\le n\le 10^5$，$1\le q\le 10^5$。

除样例外，$m=571373$。

（数据已经过加强 ^_）

样例说明：

故输出应为 $17$、$2$（$40\mathrm{mod}38=2$）。

大致思路

线段树模板，不过多解释，

• 建树

首先，线段树是二叉树，因此具有二叉树的性质，其左儿子节点与右儿子节点是固定的，具体实现如下，其中，$lc(x)$为左儿子，$rc(x)$为右儿子（对应2n与2+1）

#define lc(x) (x<<1)
#define rc(x) ((x<<1)|1)

其次，线段树的建立为递归建立，最底层的节点对应的就是$a[\mathrm{1...}n]$

void build(int x,int l,int r){
	tag_add[x]=0;tag_mul[x]=1;
	if(l==r){
		sm[x]=a[l];
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(lc(x),l,mid);
	build(rc(x),mid+1,r);
	pushup(x);
	return;
}

$sm[x]=sm[lc(x)]+sm[rc(x)]$通常会被单独写做一个函数pushup

• pushup

void pushup(int x){
	sm[x]=(sm[lc(x)]+sm[rc(x)])%mod;
}

区间修改与查询

单点修改与查询只需如同建树一样查找到节点修改并pushup或return即可，不过多赘述。

对于区间修改，我们需要用到 lazy_tag 对于一次修改操作我们先不全部进行修改，当火烧眉毛不得不用到这个值时再进行修改，对于一种运算使用一个tag[]数组实现。
此模板题有两种运算，因此用 tag_add 与 tag_mul 分别记录

int sm[N<<2],a[N<<2],tag_add[N<<2],tag_mul[N<<2];

• cover

• 两种运算，我们先乘后加
• 对于乘法，节点 x 对应的 sm[x] 就是一段区间的和，根据乘法分配律，我们直接 $sm[x]\ast mul$ 即可，同样， tag_add也要乘mul，已有的 tag_mul 根据乘法结合律，直接 $tag.mul[x]\ast mul$,记得最后取模

void cover(int x,int l,int r,int ad,int mul){
	sm[x]=sm[x]*mul%mod;
	sm[x]+=(r-l+1)*ad%mod;
	sm[x]%=mod;
	tag_mul[x]*=mul;
	tag_mul[x]%=mod;
	tag_add[x]*=mul;
	tag_add[x]+=ad;
	tag_add[x]%=mod;
}

• pushdown

• 实现 tag 下传，配合cover使用，分别下传到左儿子和右儿子，之后清空父节点的 lazy_tag 。

void pushdown(int x,int l,int r){
	int mid=(l+r)>>1;
	cover(lc(x),l,mid,tag_add[x],tag_mul[x]);
	cover(rc(x),mid+1,r,tag_add[x],tag_mul[x]);
	tag_add[x]=0;tag_mul[x]=1;
}

• update

• 关键部分
• 实现区间加法与区间乘法，同样配合 cover，pushdown 使用。
• 以下给出两种写法，将注释掉的内容解开并将 if (L<=mid)…两行注释即为第二种写法

void update(int x,int l,int r,int L,int R,int ad,int mul){
//	if(rR)return;
	if(l>=L&&R>=r){
		cover(x,l,r,ad,mul);//若已被完全包含，进行一次计算
		return;
	}
	pushdown(x,l,r);//注意下传tag
	int mid=(l+r)>>1;
	if(L<=mid)update(lc(x),l,mid,L,R,ad,mul);//下传左儿子
	if(R>mid) update(rc(x),mid+1,r,L,R,ad,mul);//下传右儿子
//	update(lc(x),l,mid,L,R,ad,mul);
//	update(rc(x),mid+1,r,L,R,ad,mul);
	pushup(x);
}

• query

• 关键部分

• 实现区间询问，原理基本与 update 一致，注意区间被完全包含后返回值与取模。
• 同样给出三种写法，将注释掉的内容解开并将 if (L<=mid)…两行注释即为第二种写法

int query(int x,int l,int r,int L,int R){
//	if(rR)return 0;
	int res=0;
	if(l>=L&&R>=r){
		return sm[x];
	}
	pushdown(x,l,r);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(L<=mid)res+=(query(lc(x),l,mid,L,R)%mod);
	if(R>mid) res+=(query(rc(x),mid+1,r,L,R)%mod);
//	res+=(query(lc(x),l,mid,L,R)%mod);
//	res+=(query(rc(x),mid+1,r,L,R)%mod);
	return res%mod;
}

int query(int x,int l,int r,int L,int R){
	if(r<L||l>R)return 0;
	if(l>=L&&R>=r){
		return sm[x];
	}
	pushdown(x,l,r);
	int mid=(l+r)>>1;
	return (query(lc(x),l,mid,L,R)+query(rc(x),mid+1,r,L,R))%mod;
}

真的快被线段树ex吐了

AC CODE

#include
using namespace std;
#define int long long int
const int N=1e6+2233;
#define lc(x) (x<<1)
#define rc(x) ((x<<1)|1)
int n,m,mod;
int sm[N<<2],a[N<<2],tag_add[N<<2],tag_mul[N<<2];
void pushup(int x){
	sm[x]=(sm[lc(x)]+sm[rc(x)])%mod;
}
void build(int x,int l,int r){
	tag_add[x]=0;tag_mul[x]=1;
	if(l==r){
		sm[x]=a[l];
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(lc(x),l,mid);
	build(rc(x),mid+1,r);
	pushup(x);
	return;
}
void cover(int x,int l,int r,int ad,int mul){
	sm[x]=sm[x]*mul%mod;
	sm[x]+=(r-l+1)*ad%mod;
	sm[x]%=mod;
	tag_mul[x]*=mul;
	tag_mul[x]%=mod;
	tag_add[x]*=mul;
	tag_add[x]+=ad;
	tag_add[x]%=mod;
}
void pushdown(int x,int l,int r){
	int mid=(l+r)>>1;
	cover(lc(x),l,mid,tag_add[x],tag_mul[x]);
	cover(rc(x),mid+1,r,tag_add[x],tag_mul[x]);
	tag_add[x]=0;tag_mul[x]=1;
}
void update(int x,int l,int r,int L,int R,int ad,int mul){
//	if(rR)return;
	if(l>=L&&R>=r){
		cover(x,l,r,ad,mul);
		return;
	}
	pushdown(x,l,r);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(L<=mid)update(lc(x),l,mid,L,R,ad,mul);
	if(R>mid) update(rc(x),mid+1,r,L,R,ad,mul);
//	update(lc(x),l,mid,L,R,ad,mul);
//	update(rc(x),mid+1,r,L,R,ad,mul);
	pushup(x);
}
int query(int x,int l,int r,int L,int R){
//	if(rR)return 0;
	int res=0;
	if(l>=L&&R>=r){
		return sm[x];
	}
	pushdown(x,l,r);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(L<=mid)res+=(query(lc(x),l,mid,L,R)%mod);
	if(R>mid) res+=(query(rc(x),mid+1,r,L,R)%mod);
//	res+=(query(lc(x),l,mid,L,R)%mod);
//	res+=(query(rc(x),mid+1,r,L,R)%mod);
	return res%mod;
}
signed main(){
	scanf("%lld %lld %lld",&n,&m,&mod);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld",&a[i]);
	}
	build(1,1,n);
	while(m--){
		int op,xx,yy,kk;
		scanf("%lld",&op);
		if(op==1){
			scanf("%lld %lld %lld",&xx,&yy,&kk);
			update(1,1,n,xx,yy,0,kk);
		}
		if(op==2){
			scanf("%lld %lld %lld",&xx,&yy,&kk);
			update(1,1,n,xx,yy,kk,1);
		}
		if(op==3){
			scanf("%lld %lld",&xx,&yy);
			printf("%lld\n",query(1,1,n,xx,yy));
		}
	}
	return 0;
}

附封面（佐仓大法好！）