P3373 【模板】线段树 2(乘法与加法)(内附封面)

【模板】线段树 2

题目描述

如题,已知一个数列,你需要进行下面三种操作:

  • 将某区间每一个数乘上 x x x
  • 将某区间每一个数加上 x x x
  • 求出某区间每一个数的和。

输入格式

第一行包含三个整数 n , q , m n,q,m n,q,m,分别表示该数列数字的个数、操作的总个数和模数。

第二行包含 n n n 个用空格分隔的整数,其中第 i i i 个数字表示数列第 i i i 项的初始值。

接下来 q q q 行每行包含若干个整数,表示一个操作,具体如下:

操作 1 1 1: 格式:1 x y k 含义:将区间 [ x , y ] [x,y] [x,y] 内每个数乘上 k k k

操作 2 2 2: 格式:2 x y k 含义:将区间 [ x , y ] [x,y] [x,y] 内每个数加上 k k k

操作 3 3 3: 格式:3 x y 含义:输出区间 [ x , y ] [x,y] [x,y] 内每个数的和对 m m m 取模所得的结果

输出格式

输出包含若干行整数,即为所有操作 3 3 3 的结果。

样例 #1

样例输入 #1

5 5 38
1 5 4 2 3
2 1 4 1
3 2 5
1 2 4 2
2 3 5 5
3 1 4

样例输出 #1

17
2

提示

【数据范围】

对于 30 % 30\% 30% 的数据: n ≤ 8 n \le 8 n8 q ≤ 10 q \le 10 q10
对于 70 % 70\% 70% 的数据:$n \le 10^3 , , q \le 10^4$。
对于 100 % 100\% 100% 的数据: 1 ≤ n ≤ 1 0 5 1 \le n \le 10^5 1n105 1 ≤ q ≤ 1 0 5 1 \le q \le 10^5 1q105

除样例外, m = 571373 m = 571373 m=571373

(数据已经过加强 _

样例说明:

P3373 【模板】线段树 2(乘法与加法)(内附封面)_第1张图片

故输出应为 17 17 17 2 2 2 40   m o d   38 = 2 40 \bmod 38 = 2 40mod38=2)。

大致思路

线段树模板,不过多解释,

  • 建树

首先,线段树是二叉树,因此具有二叉树的性质,其左儿子节点与右儿子节点是固定的,具体实现如下,其中, l c ( x ) lc(x) lc(x)为左儿子, r c ( x ) rc(x) rc(x)为右儿子(对应2n与2+1)

#define lc(x) (x<<1)
#define rc(x) ((x<<1)|1)

其次,线段树的建立为递归建立,最底层的节点对应的就是 a [ 1... n ] a[1...n] a[1...n]

void build(int x,int l,int r){
	tag_add[x]=0;tag_mul[x]=1;
	if(l==r){
		sm[x]=a[l];
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(lc(x),l,mid);
	build(rc(x),mid+1,r);
	pushup(x);
	return;
}

s m [ x ] = s m [ l c ( x ) ] + s m [ r c ( x ) ] sm[x]=sm[lc(x)]+sm[rc(x)] sm[x]=sm[lc(x)]+sm[rc(x)]通常会被单独写做一个函数pushup

  • pushup

void pushup(int x){
	sm[x]=(sm[lc(x)]+sm[rc(x)])%mod;
}

区间修改与查询

单点修改与查询只需如同建树一样查找到节点修改并pushup或return即可,不过多赘述。

对于区间修改,我们需要用到 lazy_tag 对于一次修改操作我们先不全部进行修改,当火烧眉毛不得不用到这个值时再进行修改,对于一种运算使用一个tag[]数组实现。
此模板题有两种运算,因此用 tag_add 与 tag_mul 分别记录

int sm[N<<2],a[N<<2],tag_add[N<<2],tag_mul[N<<2];
  • cover

  • 两种运算,我们先乘后加
  • 对于乘法,节点 x 对应的 sm[x] 就是一段区间的和,根据乘法分配律,我们直接 s m [ x ] ∗ m u l sm[x]*mul sm[x]mul 即可,同样, tag_add也要乘mul,已有的 tag_mul 根据乘法结合律,直接 t a g . m u l [ x ] ∗ m u l tag.mul [ x ] * mul tag.mul[x]mul,记得最后取模
void cover(int x,int l,int r,int ad,int mul){
	sm[x]=sm[x]*mul%mod;
	sm[x]+=(r-l+1)*ad%mod;
	sm[x]%=mod;
	tag_mul[x]*=mul;
	tag_mul[x]%=mod;
	tag_add[x]*=mul;
	tag_add[x]+=ad;
	tag_add[x]%=mod;
}
  • pushdown

  • 实现 tag 下传,配合cover使用,分别下传到左儿子和右儿子,之后清空父节点的 lazy_tag 。
void pushdown(int x,int l,int r){
	int mid=(l+r)>>1;
	cover(lc(x),l,mid,tag_add[x],tag_mul[x]);
	cover(rc(x),mid+1,r,tag_add[x],tag_mul[x]);
	tag_add[x]=0;tag_mul[x]=1;
}
  • update

  • 关键部分
  • 实现区间加法与区间乘法,同样配合 cover,pushdown 使用。
  • 以下给出两种写法,将注释掉的内容解开并将 if (L<=mid)…两行注释即为第二种写法
void update(int x,int l,int r,int L,int R,int ad,int mul){
//	if(rR)return;
	if(l>=L&&R>=r){
		cover(x,l,r,ad,mul);//若已被完全包含,进行一次计算
		return;
	}
	pushdown(x,l,r);//注意下传tag
	int mid=(l+r)>>1;
	if(L<=mid)update(lc(x),l,mid,L,R,ad,mul);//下传左儿子
	if(R>mid) update(rc(x),mid+1,r,L,R,ad,mul);//下传右儿子
//	update(lc(x),l,mid,L,R,ad,mul);
//	update(rc(x),mid+1,r,L,R,ad,mul);
	pushup(x);
}
  • query

  • 关键部分

  • 实现区间询问,原理基本与 update 一致,注意区间被完全包含后返回值与取模。
  • 同样给出三种写法,将注释掉的内容解开并将 if (L<=mid)…两行注释即为第二种写法
int query(int x,int l,int r,int L,int R){
//	if(rR)return 0;
	int res=0;
	if(l>=L&&R>=r){
		return sm[x];
	}
	pushdown(x,l,r);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(L<=mid)res+=(query(lc(x),l,mid,L,R)%mod);
	if(R>mid) res+=(query(rc(x),mid+1,r,L,R)%mod);
//	res+=(query(lc(x),l,mid,L,R)%mod);
//	res+=(query(rc(x),mid+1,r,L,R)%mod);
	return res%mod;
}
int query(int x,int l,int r,int L,int R){
	if(r<L||l>R)return 0;
	if(l>=L&&R>=r){
		return sm[x];
	}
	pushdown(x,l,r);
	int mid=(l+r)>>1;
	return (query(lc(x),l,mid,L,R)+query(rc(x),mid+1,r,L,R))%mod;
}
真的快被线段树ex吐了

AC CODE

#include
using namespace std;
#define int long long int
const int N=1e6+2233;
#define lc(x) (x<<1)
#define rc(x) ((x<<1)|1)
int n,m,mod;
int sm[N<<2],a[N<<2],tag_add[N<<2],tag_mul[N<<2];
void pushup(int x){
	sm[x]=(sm[lc(x)]+sm[rc(x)])%mod;
}
void build(int x,int l,int r){
	tag_add[x]=0;tag_mul[x]=1;
	if(l==r){
		sm[x]=a[l];
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(lc(x),l,mid);
	build(rc(x),mid+1,r);
	pushup(x);
	return;
}
void cover(int x,int l,int r,int ad,int mul){
	sm[x]=sm[x]*mul%mod;
	sm[x]+=(r-l+1)*ad%mod;
	sm[x]%=mod;
	tag_mul[x]*=mul;
	tag_mul[x]%=mod;
	tag_add[x]*=mul;
	tag_add[x]+=ad;
	tag_add[x]%=mod;
}
void pushdown(int x,int l,int r){
	int mid=(l+r)>>1;
	cover(lc(x),l,mid,tag_add[x],tag_mul[x]);
	cover(rc(x),mid+1,r,tag_add[x],tag_mul[x]);
	tag_add[x]=0;tag_mul[x]=1;
}
void update(int x,int l,int r,int L,int R,int ad,int mul){
//	if(rR)return;
	if(l>=L&&R>=r){
		cover(x,l,r,ad,mul);
		return;
	}
	pushdown(x,l,r);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(L<=mid)update(lc(x),l,mid,L,R,ad,mul);
	if(R>mid) update(rc(x),mid+1,r,L,R,ad,mul);
//	update(lc(x),l,mid,L,R,ad,mul);
//	update(rc(x),mid+1,r,L,R,ad,mul);
	pushup(x);
}
int query(int x,int l,int r,int L,int R){
//	if(rR)return 0;
	int res=0;
	if(l>=L&&R>=r){
		return sm[x];
	}
	pushdown(x,l,r);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(L<=mid)res+=(query(lc(x),l,mid,L,R)%mod);
	if(R>mid) res+=(query(rc(x),mid+1,r,L,R)%mod);
//	res+=(query(lc(x),l,mid,L,R)%mod);
//	res+=(query(rc(x),mid+1,r,L,R)%mod);
	return res%mod;
}
signed main(){
	scanf("%lld %lld %lld",&n,&m,&mod);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld",&a[i]);
	}
	build(1,1,n);
	while(m--){
		int op,xx,yy,kk;
		scanf("%lld",&op);
		if(op==1){
			scanf("%lld %lld %lld",&xx,&yy,&kk);
			update(1,1,n,xx,yy,0,kk);
		}
		if(op==2){
			scanf("%lld %lld %lld",&xx,&yy,&kk);
			update(1,1,n,xx,yy,kk,1);
		}
		if(op==3){
			scanf("%lld %lld",&xx,&yy);
			printf("%lld\n",query(1,1,n,xx,yy));
		}
	}
	return 0;
}

附封面(佐仓大法好!)

P3373 【模板】线段树 2(乘法与加法)(内附封面)_第2张图片

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