数学有形 思想无痕

      ——董老师执教《圆的面积》一课

    圆是小学阶段研究的最后一个平面图形，也是第一个曲线图形。从学习直线图形到认识曲线图形，无论是学习内容本身，还是研究问题的方法，都有所变化，可以说是思维上的一次飞跃。

    学生在过去学习平面图形面积的基础上，对“转化”的方法已有认识基础。教材采用了把圆等分成若干个小扇形，用这些小扇形一正一倒拼成一个近似的平行四边形，随着把圆等分的小扇形个数的增多，进而拼出近似的长方形，最后由想象出的长方形推得圆的面积公式的方法。体现了圆的面积公式的证明方法，逻辑上正确严密，又合乎学生的认知水平。如果老师直接按照课本的方法引导学生推导出圆的面积公式，既省时又省力。但学生对于知识的由来被不经意地省略了。

      经过课前调查发现，学生没有预习，又没有教师的暗示，他们拿到圆形纸片后，不知道从哪里下手，不知道该如何切、如何拼，不知道该把圆形转化成原来学习过的哪种平面图形。这些具有思维难度的问题，需要学生自己在一个个探究活动中活动答案，在经历知识形成的过程中领悟。

    1.“小巧手”剪纸比赛，为探究埋下“伏笔”

    一上课，董老师就开门见山的主题：“在前几节课的学习中，我们明白了圆是最美丽的平面图形，现在我们举行一个“小巧手”比赛。每个小组都备有纸和剪刀，请发挥你们的聪明才智，想办法剪出一个圆，待会儿我们就把最漂亮的作品贴在黑板上。

      孩子们各显其能。孩子们通过各种不同的尝试，相互交流着自己的想法与困惑，发现不管怎么折，怎么剪打开总像个花瓣形状。

    2.交流探讨，感悟“极限”思想。

      经过一步步的探究和尝试，通过小组之间的相互对比与交流，学生发现折的次数越多，圆周越短，剪出来更像圆。而且折好后千万不要剪弧线，尽量“剪直线”这样才能避免剪出花瓣的形状，展开后就比较接近圆。圆在学生的头脑中已经化身为一个正多边形。圆与直线型图形之间的转化、“化曲为直”、“极限”的思想，通过一系列操作和验证，在学生看得见，摸得着的学习过程中感悟出来。

      课件演示刘徽的割圆术，以便让学生更好地理解为什么要“直着剪”，并抛出问题：“你有什么发现？”

    学生发现剪好的圆上都留下了折痕，这些折痕正好是圆的半径，整个圆好像是由多个小三角形组成的，相邻的两条折痕之间的圆周可以看作三角形的底，高就是圆的半径。自然的学生就利用前面学习的经验，引用“转化”的思想把圆平均分成若干个小三角形，通过剪拼变成一个近似的平行四边形，进而推导出圆的面积公式。引领学生由单纯的行为参与转向深层次的认知参与，不仅让学生巧妙的体会到圆与方之间的奇妙关系，也体会到了山穷水复疑无路，柳暗花明又一村的喜悦。

    教师通过引导学生多想一步、想深一步，使学生经历了更为有效的探究活动，进而彰显了这一内容的价值。

      特级教师钱阳辉说过：“如果知识背后没有方法，知识只能是一种沉重的负担；如果方法背后没有思想，方法只不过是一种笨拙的工具。”在课堂教学中，给予知识固然重要，但是掌握数学学习的思想方法、经历数学学习的过程，为学生今后的学习铺设一条可操作、能持续发展的道路更重要。