P3957 [NOIP2017 普及组] 跳房子 （动态规划）（内附封面）

[NOIP2017 普及组] 跳房子

题目背景

NOIP2017 普及组 T4

题目描述

跳房子，也叫跳飞机，是一种世界性的儿童游戏，也是中国民间传统的体育游戏之一。

跳房子的游戏规则如下：

在地面上确定一个起点，然后在起点右侧画 $n$ 个格子，这些格子都在同一条直线上。每个格子内有一个数字（整数），表示到达这个 格子能得到的分数。玩家第一次从起点开始向右跳，跳到起点右侧的一个格子内。第二次再从当前位置继续向右跳，依此类推。规则规定：

玩家每次都必须跳到当前位置右侧的一个格子内。玩家可以在任意时刻结束游戏，获得的分数为曾经到达过的格子中的数字之和。

现在小 R 研发了一款弹跳机器人来参加这个游戏。但是这个机器人有一个非常严重的缺陷，它每次向右弹跳的距离只能为固定的 $d$。小 R 希望改进他的机器人，如果他花 $g$ 个金币改进他的机器人，那么他的机器人灵活性就能增加 $g$，但是需要注意的是，每 次弹跳的距离至少为 $1$。具体而言，当 $g<d$ 时，他的机器人每次可以选择向右弹跳的距离为 $d-g,d-g+1,d-g+2,\dots ,d+g-1,d+g$；否则当 $g\ge d$ 时，他的机器人每次可以选择向右弹跳的距离为 $1,2,3,\dots ,d+g-1,d+g$。

现在小 R 希望获得至少 $k$ 分，请问他至少要花多少金币来改造他的机器人。

输入格式

第一行三个正整数 $n,d,k$ ，分别表示格子的数目，改进前机器人弹跳的固定距离，以及希望至少获得的分数。相邻两个数 之间用一个空格隔开。

接下来 $n$ 行，每行两个整数 $x_i,s_i$ ，分别表示起点到第 $i$ 个格子的距离以及第 $i$ 个格子的分数。两个数之间用一个空格隔开。保证 $x_i$ 按递增顺序输入。

输出格式

共一行，一个整数，表示至少要花多少金币来改造他的机器人。若无论如何他都无法获得至少 $k$ 分，输出 $-1$。

样例 #1

样例输入 #1

7 4 10
2 6
5 -3
10 3
11 -3
13 1
17 6
20 2

样例输出 #1

2

样例 #2

样例输入 #2

7 4 20
2 6
5 -3
10 3
11 -3
13 1
17 6
20 2

样例输出 #2

-1

提示

输入输出样例 1 说明

花费 $2$ 个金币改进后，小 R 的机器人依次选择的向右弹跳的距离分别为 $ 2, 3, 5, 3, 4,3$，先后到达的位置分别为 $2,5,10,13,17,20$，对应$ 1, 2, 3, 5, 6, 7$ 这 $6$ 个格子。这些格子中的数字之和 $ 15$ 即为小 R 获得的分数。

输入输出样例 2 说明

由于样例中 $7$ 个格子组合的最大可能数字之和只有 $18$，所以无论如何都无法获得 $20$ 分。

数据规模与约定

本题共 10 组测试数据，每组数据等分。

对于全部的数据满足$1\le n\le 5\times 10^5$，$1\le d\le 2\times 10^3$，$1\le x_i,k\le 10^9$，$|s_i|<10^5$。

对于第 $1,2$ 组测试数据，保证 $n\le 10$。

对于第 $3,4,5$ 组测试数据，保证 $n\le 500$。

对于第 $6,7,8$ 组测试数据，保证 $d=1$。

大致思路

最优解是使用单调队列优化的 （但我没用awa）

• 对于无解的情况，当序列中所有大于0的数之和小于k时就是无解的，直接输出-1
• 根据题意，我们要找到一个最小的g使得能达到的分数>=k，要在很大的范围内找到一个数，二分无疑是最快的，因此，可以二分 g ，每次去判断它是否符合题意就可以了

二分check函数

经过上面的步骤，我们就把这个题转化为了当前mid是否可行。而对此的判断就需要dp求解。

用$f[i]$表示到达 i 点的分数最大值（当前最优是由之前的最优推过来的），而对于当前mid，它能够到达的区间为
$$[max(d-mid,1)，d+mid]$$

所以当前点$f[i]$由前$i-1$个点推来$(x[j]-x[i]>=左边界\&\&x[j]-x[i]<=右边界)$
$x[i]$单调递增，因此反向枚举是更有效的（若当前$x[j]-x[i]>右边界$说明之后的点也会超过右边界，直接break）

得到方程
$$f[i]=max(f[i],f[j]+s[i])$$

f 数组的初始值应设置为$-INF$（跳不到），f [ 0 ] = 0。

AC CODE

#include
using namespace std;
const int N=1e6+2233;
const int M=5*1e5+23;
#define int long long int 
int n,d,k,sum=0;
struct node{
	int x,s;
}a[N];
int f[M];
bool check(int mid){
	int ls=d-mid,rs=d+mid;
	if(ls<=0)ls=1;
	memset(f,-0x3f,sizeof(f));
	f[0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=i-1;j>=0;j--){
			if(a[i].x-a[j].x>rs){
				break;
			}
			else if(a[i].x-a[j].x<ls)continue;
			f[i]=max(f[i],f[j]+a[i].s);
			if(f[i]>=k)return 1;	
		}
	}
	return 0;
}
signed main(){
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&d,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld %lld",&a[i].x,&a[i].s);
		if(a[i].s>0)sum+=a[i].s;
	}
	if(sum<k){
		printf("-1\n");
		return 0;
	}
	int l=0,r=11451;
	while(l<=r){
		int mid=(l+r)>>1;
		if(check(mid)){
			r=mid-1;
		}
		else {
			l=mid+1;
		}
	}
	cout<<l<<endl;
	return 0;
}

完结撒花~~

附封面

愿你有一天能与重要之人重逢