力扣回溯算法专题（一）- 回溯算法理论基础、组合问题 77.组合、216.组合总和Ⅲ、17.电话号码的字母组合、39.组合总和、40.组合总和Ⅱ 思路及C++实现 组合问题总结
文章目录
- 回溯算法理论基础
-
- 回溯法
- 回溯法解决的问题
- 回溯法理解
- 回溯法/递归法模板
- 回溯法的题目
- 回溯法伪代码
- 77. 组合
-
- 三要素及思路
- 代码
- 剪枝优化
- 216.组合总和Ⅲ
-
- 三要素及思路
- 代码
- 剪枝优化
- 17.电话号码的字母组合
-
- 三个问题
- 三要素及思路
- 代码
- 39.组合总和
-
- 三要素及思路
- 代码
- 剪枝优化
- 40.组合总和Ⅱ
-
- 三要素及思路
- 代码
- 总结
-
- 1. 回溯法的理论基础
- 2. 组合问题
回溯算法理论基础
回溯法
定义：回溯法也可以叫做回溯搜索法，是一种搜索的方式。有递归就会有回溯，回溯函数也就是递归函数。
回溯法的效率：回溯的本质是穷举，穷举所有可能，然后选出想要的答案。剪枝操作可以让回溯法高效一些，但回溯法仍然是穷举。
回溯法解决的问题
一般可以解决如下几种问题：
组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
棋盘问题：N皇后，解数独等等
注意：组合是不强调元素顺序的，排列是强调元素顺序。组合无序，排列有序。
回溯法理解
- 回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构。
- 因为回溯法解决的都是在集合中递归查找子集，集合的大小就构成了树的宽度，递归的深度，都构成的树的深度。
- 递归就要有终止条件，所以必然是一棵高度有限的树（N叉树）。
回溯法/递归法模板
- 回溯函数模板返回值以及参数：
回溯算法中函数返回值一般为void；
回溯算法中一般是先写逻辑，然后需要什么参数，就填什么参数。 - 回溯函数终止条件：一般来说搜到叶子节点了，也就找到了满足条件的一条答案，把这个答案存放起来，并结束本层递归。
- 回溯搜索的遍历过程：
for循环，横向遍历，遍历集合区间。一个节点有多少个孩子，这个for循环就执行多少次；
处理节点；
递归；
回溯，撤销处理结果。
回溯法的题目
- 组合：77.组合、17.电话号码的字母组合、39.组合总和、40.组合总和Ⅱ、216.组合总和Ⅲ
- 分割：131.分割回文串、93.复原IP地址
- 子集：78.子集、90.子集Ⅱ
- 排列：46.全排列、47.全排列Ⅱ
- 棋盘问题：51.N皇后、37.解数独
- 其他：491.递增子序列、332.重新安排行程
回溯法伪代码
void backtracking(参数) {
if (终止条件) {
存放结果;
return;
}
for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
处理节点;
backtracking(路径，选择列表); // 递归
回溯，撤销处理结果
}
}
77. 组合
三要素及思路
先写逻辑，再确定递归函数参数：
n，题目中的n。
k，题目中的k，集合个数。
startindex，下一层for循环搜索的起始位置。
终止条件：
k就是树的深度，只取k个元素，path.size() =k就终止。
单层搜索：
path收集每次选取的元素，相当于树型结构里的边。
全局变量：
一维数组path来存放符合条件的结果，二维数组result来存放结果集。
代码
class Solution {
public:
vector<vector<int>> result;//二维数组，存放符合条件结果的集合
vector<int> path;//一维数组，存放符合条件的一个结果 也是存放路径
//参数就是树的宽度n，深度k，startindex是为了控制单次递归时从哪里开始遍历，防止出现重复的组合
//如，一个结果集合是[1, 2] [1, 3] [1, 4]；那么下一个结果集合遍历的开始位置就是2开始，即[2, 3] [2, 4]
void backtracking(int n, int k, int startindex)
{
//遍历到树的叶子节点，也就是走过了两个节点，即path的大小为k时，回溯终止
//相当于 一维数组path大小=k，找到了一个子集大小为k的组合，需要在result中保存path，也就是保存了根节点到叶子节点的路径，然后终止回溯
if(path.size()==k)
{
result.push_back(path);
return;
}
//单层递归
for(int i = startindex;i<=n;i++)//控制树的横向遍历，i为本次搜索的起始位置
{
path.push_back(i);//处理节点
backtracking(n, k, i+1);//递归：控制树的纵向遍历，注意下一层搜索要从i+1开始
path.pop_back();//回溯，撤销处理的节点
}
}
vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
backtracking(n, k, 1);
return result;
}
};
剪枝优化
优化过程如下：
已经选择的元素个数：path.size();
还需要的元素个数为: k - path.size();
在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - path.size()) + 1，开始遍历
+1是因为包括起始位置，要的是一个左闭的集合
把上面代码的for(int i = startindex;i<=n;i++)替换成for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++)
216.组合总和Ⅲ
三要素及思路
先写逻辑，再确定递归函数参数：
目标和targetsum，题目中的n。
k，题目中的k，集合个数。
sum，每条路径累加和，path里元素总和。
startindex，下一层for循环搜索的起始位置。
终止条件：
k就是树的深度，只取k个元素，path.size() =k就终止。
结合题目，如果此时path里收集到的元素和sum和题目要求的和n，即目标和targetSum相同，就用result收集当前的结果。
单层搜索：
path收集每次选取的元素，相当于树型结构里的边，sum来统计path里元素的总和。
全局变量：
一维数组path来存放符合条件的结果，二维数组result来存放结果集。
代码
class Solution {
public:
vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(int k, int targetsum, int sum, int startindex)
{
//终止条件
if(path.size()==k)
{
if(sum==targetsum) result.push_back(path);//如果累加和与目标和相同，存放结果
return;//搜索到叶子节点
}
//单层搜索
//数字只能在1-9之间
for(int i = startindex; i<=9; i++)
{
sum += i;//累加求和
path.push_back(i);//存放组合
backtracking(k, targetsum, sum, i+1);//startindex调整为i+1
sum -= i;//回溯
path.pop_back();//回溯
}
}
vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {
backtracking(k, n, 0, 1);
return result;
}
};
剪枝优化
如果第二次取元素值大于n，即目标和，后续操作就没有意义了，直接返回，做剪枝处理if (sum > targetSum) return;，有三种方式：
- 方式1：遍历前剪枝， 回溯函数开始就剪枝
- 方式2：调用递归函数开始前剪枝，但要先回溯，再剪枝
- 方式3：也可以在for循环的控制条件剪枝，
i <= 9-(k-path.size())+1
方式1：回溯开始就剪枝
class Solution {
public:
vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(int k, int targetsum, int sum, int startindex)
{
//剪枝1 回溯开始就剪枝
if(sum>targetsum) return;
//终止条件
if(path.size()==k)
{
if(sum==targetsum) result.push_back(path);//如果累加和与目标和相同，存放结果
return;//搜索到叶子节点
}
//单层搜索
//数字只能在1-9之间
for(int i = startindex; i<=9; i++)
{
sum += i;//累加求和
path.push_back(i);//存放组合
backtracking(k, targetsum, sum, i+1);//startindex调整为i+1
sum -= i;//回溯
path.pop_back();//回溯
}
}
vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {
backtracking(k, n, 0, 1);
return result;
}
};
方式2：调用递归函数开始前剪枝，先回溯，再剪枝
class Solution {
public:
vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(int k, int targetsum, int sum, int startindex)
{
//终止条件
if(path.size()==k)
{
if(sum==targetsum) result.push_back(path);//如果累加和与目标和相同，存放结果
return;//搜索到叶子节点
}
//剪枝2 调用递归前剪枝 要先回溯再剪枝
for(int i = startindex; i<=9; i++)
{
sum += i;//累加求和
path.push_back(i);//存放组合
if(sum > targetsum)//剪枝
{
sum -= i;//剪枝之前先回溯
path.pop_back();//剪枝之前先回溯
return;
}
backtracking(k, targetsum, sum, i+1);//startindex调整为i+1
sum -= i;//回溯
path.pop_back();//回溯
}
}
vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {
backtracking(k, n, 0, 1);
return result;
}
};
方式3：for循环控制条件剪枝
class Solution {
public:
vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(int k, int targetsum, int sum, int startindex)
{
//终止条件
if(path.size()==k)
{
if(sum==targetsum) result.push_back(path);//如果累加和与目标和相同，存放结果
return;//搜索到叶子节点
}
//剪枝3
for(int i = startindex; i<=9 - (k-path.size()) + 1; i++)
{
sum += i;//累加求和
path.push_back(i);//存放组合
backtracking(k, targetsum, sum, i+1);//startindex调整为i+1
sum -= i;//回溯
path.pop_back();//回溯
}
}
vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {
backtracking(k, n, 0, 1);
return result;
}
};
17.电话号码的字母组合
三个问题
- 数字和字母如何映射——map或二维数组映射
- 输入1 * #按键等等异常情况——可以剔除这三种字符
- 两个字母两个for循环，三个字符三个for循环，以此类推，怎么解决n个循环——回溯
三要素及思路
先写逻辑，再确定递归函数参数：
digits，题目中的digits，数字串。
index，遍历数字串digits，记录遍历的第几个数字，也表示树的深度
终止条件：
当数字串遍历完就终止，即index==digits.size()。存放当前层的结果，再结束递归
单层搜索：
首先要用index获取数字串的数字
然后找到该数字对应的字母集
最后通过for循环处理这个字母集：s存放每次在字母集选取的元素，然后递归，再回溯
全局变量：
一个字符串s收集叶子节点结果
一个字符串数组result存放结果集
代码
- 二维数组
class Solution {
//私有属性 二维数组 数字与字母映射
private:
const string letterMap[10] =
{
"", //0
"", //1
"abc", //2
"def", //3
"ghi", //4
"jkl", //5
"mno", //6
"pqrs", //7
"tuv", //8
"wxyz", //9
};
public:
string s;//保存符合条件的一个结果
vector<string> result;//保存结果集
//参数：1.题目给的字符串digits 引用传入 const修饰;2.当前数字，字符串当前元素
void backtracking(const string& digits, int index)
{
//终止条件 如果字符串遍历完就终止
if(index==digits.size())
{
result.push_back(s);
return;
}
//单层搜索 二维数组
int digit = digits[index] - '0';//index指向的数字由string转成int
string letters = letterMap[digit];//获取index指向的数字对应的字母
for(int i=0; i<letters.size();i++)
{
s.push_back(letters[i]);//存放字母
backtracking(digits, index+1);//递归，index+1表示处理下一个数字
s.pop_back();//回溯
}
}
vector<string> letterCombinations(string digits) {
if(digits.size()==0) return result;
backtracking(digits, 0);
return result;
}
};
- map
class Solution {
//私有属性 map 数字与字母映射
private:
const unordered_map<char, string> phoneMap{
{'2', "abc"},
{'3', "def"},
{'4', "ghi"},
{'5', "jkl"},
{'6', "mno"},
{'7', "pqrs"},
{'8', "tuv"},
{'9', "wxyz"}
};
public:
string s;//保存符合条件的一个结果
vector<string> result;//保存结果集
//参数：1.题目给的字符串digits 引用传入 const修饰;2.当前数字，字符串当前元素
void backtracking(const string& digits, int index)
{
//终止条件 如果字符串遍历完就终止
if(index==digits.size())
{
result.push_back(s);
return;
}
//单层搜索 map
char digit = digits[index];//获取当前遍历的数字
string letters = phoneMap.at(digit);//获取当前遍历数字 对应的 字母集 注意访问方式
for(int i=0; i<letters.size();i++)
{
s.push_back(letters[i]);//存放字母
backtracking(digits, index+1);//递归，index+1表示处理下一个数字
s.pop_back();//回溯
}
}
vector<string> letterCombinations(string digits) {
if(digits.size()==0) return result;
backtracking(digits, 0);
return result;
}
};
39.组合总和
三要素及思路
先写逻辑，再确定递归函数参数：
candidates，集合
target，目标值
sum，每条路径累加和，path里元素总和。也可以用target做减法，target=0就说明找到符合的结果了。
startindex，下一层for循环搜索的起始位置。
终止条件：
sum大于target和sum等于target
单层搜索：
path收集每次选取的元素，相当于树型结构里的边，sum来统计path里元素的总和。
全局变量：
一维数组path来存放符合条件的结果，二维数组result来存放结果集。
本题和77.组合、216.组合总和Ⅲ不同的是
- 本题元素可以重复，77和216不可以。所以回溯时，本题的startindex从i开始，77和216的startindex从i+1开始。
- 组合没有数量限制
代码
class Solution {
public:
vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startindex)
{
//终止条件
if(sum > target) return;
if(sum == target)
{
result.push_back(path);//存放结果集
return;
}
//单层搜索
for(int i=startindex; i<candidates.size(); i++)
{
sum += candidates[i];
path.push_back(candidates[i]);
backtracking(candidates, target, sum, i);//元素可以重复选取，不需要i+1
sum -= candidates[i];//回溯
path.pop_back();//回溯
}
}
vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
backtracking(candidates, target, 0, 0);
return result;
}
};
剪枝优化
sum大于target时，还是进入了下一层递归，但其实可以直接返回，不需要进入下一层递归。
因此，sum大于target时再for循环所有范围进行剪枝。对总集合排序，如果下一层的sum，即本层的sum+candidates[i]大于target时，就可以结束本轮for循环的遍历。
class Solution {
public:
vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startindex)
{
//终止条件
if(sum > target) return;
if(sum == target)
{
result.push_back(path);//存放结果集
return;
}
//单层搜索
for(int i=startindex; i<candidates.size() && sum+candidates[i]<=target; i++)//剪枝
{
sum += candidates[i];
path.push_back(candidates[i]);
backtracking(candidates, target, sum, i);//元素可以重复选取，不需要i+1
sum -= candidates[i];//回溯
path.pop_back();//回溯
}
}
vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
sort(candidates.begin(), candidates.end()); // 需要排序 剪枝前需要排序
backtracking(candidates, target, 0, 0);
return result;
}
};
40.组合总和Ⅱ
三要素及思路
和39.组合总和的不同点
- 区别1：本题candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次。
- 区别2：本题数组candidates的元素是有重复的，而39.组合总和是无重复元素的数组candidates
和39.组合总和的共同点：
最后本题和39.组合总和要求一样，解集不能包含重复的组合。
题目难点：
在于区别2中，集合（数组candidates）有重复元素，但还不能有重复的组合。元素在同一个组合内是可以重复的，但两个组合不能相同。
因此，去重操作就是要去重的是同一树层上的使用过，同一树枝上的都是一个组合里的元素，不用去重。树层去重的话，需要对数组排序
先写逻辑，再确定递归函数参数：
candidates，集合
target，目标值
sum，每条路径累加和，path里元素总和。也可以用target做减法，target=0就说明找到符合的结果了。
startindex，下一层for循环搜索的起始位置。
used，bool型数组，用来记录同一树枝上的元素是否使用过，用于集合去重
终止条件：
和39.组合总和一样，sum大于target和sum等于target，同样的，剪枝操作时可以省掉sum大于target条件了。
单层搜索：
path收集每次选取的元素，相当于树型结构里的边，sum来统计path里元素的总和。
全局变量：一维数组path来存放符合条件的结果，二维数组result来存放结果集。
去重方式1-使用标记数组
[i] == candidates[i - 1]时：
- used[i - 1] == true，表示同一树枝 candidates[i - 1]使用过，说明取了下一个数，进入了下一层递归，所以是树枝
- used[i - 1] == false，表示同一树层 candidates[i - 1]使用过，说明当前取的 candidates[i]是从candidates[i - 1] 回溯而来的，所以是同一树层。
去重方式2-使用下标索引： 排序之后，相同元素会挨在一起。去重时，从i的下一个位置取元素，判断前后元素是否相同，相同则跳过
去重方式3-使用set去重： set记录哪些元素使用过，对同一父节点下同一层去重
代码
- 去重方式1-标记数组used，使用sum
class Solution {
public:
vector<int> path;
vector<vector<int>> result;
void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startindex, vector<bool>& used)
{
//终止条件
if(sum==target)
{
result.push_back(path);
return;
}
//单层搜索 去重
for(int i=startindex; i<candidates.size() && sum+candidates[i]<=target; i++)
{
//判断当前值在同一树层是否使用过 同一树层元素不能重复，candidates[i] == candidates[i - 1]时，有
// used[i - 1] == true，说明同一树枝candidates[i - 1]使用过
// used[i - 1] == false，说明同一树层candidates[i - 1]使用过
//candidates[i]==candidates[i-1]看是否为同一元素， used[i-1]看元素是在树枝还是树层
if(i > 0 && candidates[i]==candidates[i-1] && used[i-1]==false) continue;
//累加和 存入 树枝判断 递归 回溯
sum += candidates[i];
path.push_back(candidates[i]);
used[i] = true;//树枝
backtracking(candidates, target, sum, i+1, used);//区别于39，i+1，每个数字在每个组合中只能使用一次
used[i] = false;
sum -= candidates[i];
path.pop_back();
}
}
vector<vector<int>> combinationSum2(vector<int>& candidates, int target) {
vector<bool> used(candidates.size(), false);//bool型数组 判断元素在树层还是树枝
// 先candidates排序，让其相同的元素都挨在一起。
sort(candidates.begin(), candidates.end());
backtracking(candidates, target, 0, 0, used);
return result;
}
};
- 去重方式2-索startindex索引下标，使用sum
class Solution {
public:
vector<int> path;
vector<vector<int>> result;
// 索引下标 不使用数组
void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startindex)
{
//终止条件
if(sum==target)
{
result.push_back(path);
return;
}
//单层搜索
for(int i=startindex; i<candidates.size() && sum+candidates[i] <= target; i++)//剪枝
{
//去重 从i下一个位置取元素 前后元素相同则跳过
if(i>startindex && candidates[i]==candidates[i-1]) continue;
//操作
sum += candidates[i];
path.push_back(candidates[i]);
backtracking(candidates, target, sum, i+1);//每个数字在每个组合中只能使用一次
sum -= candidates[i];
path.pop_back();
}
}
vector<vector<int>> combinationSum2(vector<int>& candidates, int target)
{
sort(candidates.begin(), candidates.end());
backtracking(candidates, target, 0, 0);
return result;
}
};
- 去重方式2-startindex索引下标，不使用sum
class Solution {
public:
vector<int> path;
vector<vector<int>> result;
//不使用sum
void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int startindex)
{
//终止条件
if(target==0)
{
result.push_back(path);
return;
}
//单层搜索
for(int i=startindex; i<candidates.size() && target-candidates[i] >= 0; i++)//剪枝
{
//去重 从i下一个位置取元素 前后元素相同则跳过
if(i>startindex && candidates[i]==candidates[i-1]) continue;
//操作
target -= candidates[i];
path.push_back(candidates[i]);
backtracking(candidates, target, i+1);//每个数字在每个组合中只能使用一次
target += candidates[i];
path.pop_back();
}
}
vector<vector<int>> combinationSum2(vector<int>& candidates, int target)
{
sort(candidates.begin(), candidates.end());
backtracking(candidates, target, 0);
return result;
}
};
- 去重方式3-set去重，不使用sum
class Solution {
public:
vector<int> path;
vector<vector<int>> result;
//3.set去重+不使用sum
void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int startindex)
{
if(target==0)
{
result.push_back(path);
return;
}
unordered_set<int> uset;
for(int i=startindex; i<candidates.size() && target-candidates[i]>=0; i++)
{
if(uset.find(candidates[i]) != uset.end()) continue;
uset.insert(candidates[i]);
target -= candidates[i];
path.push_back(candidates[i]);
backtracking(candidates, target, i+1);
target += candidates[i];
path.pop_back();
}
}
vector<vector<int>> combinationSum2(vector<int>& candidates, int target)
{
sort(candidates.begin(), candidates.end());
backtracking(candidates, target, 0, 0);
return result;
}
};
剪枝优化和39题的一样
总结
1. 回溯法的理论基础
- 回溯法的定义：回溯搜索法，一种搜索的方式
- 回溯法解决的问题：组合、切割、子集、排列、棋盘，注意组合无序，排列有序
- 回溯法的理解：本质是穷举，回溯问题可以抽象为一棵高度有限的树（N叉树），在集合中递归查找子集。树的宽度就是集合大小，树的深度就是递归的深度。
- 递归法模板以及伪代码：
//先写逻辑再确定参数
void backtracking(参数) {
if (终止条件) {
存放结果;
return;
}
for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
处理节点;
backtracking(路径，选择列表); // 递归
回溯，撤销处理结果
}
}
2. 组合问题
-
77.组合：
- 回溯三要素
- 用递归控制for循环嵌套的数量，把回溯问题抽象为树形结构，直观看搜索过程：for循环横向遍历，递归纵向遍历，回溯不断调整结果集
- 剪枝精髓是for循环在寻找起点的时候要有一个范围，如果这个起点到集合终止之间的元素已经不够 题目要求的k个元素了，就没有必要搜索了
-
216.组合总和Ⅲ：
- 三种剪枝方式
- 一个是已选元素总和如果已经大于n（题中要求的和）了，那么往后遍历就没有意义了，直接剪掉
- 还有一个是对for循环选择的起始范围的剪枝
-
17.电话号码的字母组合：
- 和前面两道题不一样的是，这道题的每一个数字代表的是不同集合，也就是求不同集合之间的组合。77和216都是求同一个集合中的组合。
- 注意输入异常的情况，例如输入1 * #按键
- 使用二维数组或者map建立数字与字母的映射
- 对当前遍历数字的获取和对应字母集的获取
-
39.组合总和：
- 组合没有数量要求
- 元素可以重复选
-
40.组合总和Ⅱ：
- 先排序，再去重
- 多了一个bool类型的数组used，用来判断元素是在树层还是树枝。即当candidates[i] == candidates[i - 1]时，判断candidates[i]是在树层还是树枝上：
- used[i - 1] == true，说明同一树枝 candidates[i - 1]使用过，树枝可以重复
- used[i - 1] == false，说明同一树层 candidates[i - 1]使用过，同一树层元素不能重复，要去重
- 三种去重方式，使用标记数组去重，使用下标索引去重，使用set去重
- 使用sum和使用target两种方式找到符合条件的结果，适用于39、216题
-
对于组合问题，什么时候需要startIndex？
- 如果是一个集合来求组合的话，就需要startIndex，例如：77.组合，216.组合总和Ⅲ，39.组合总和，40.组合总和Ⅱ
- 如果是多个集合取组合，各个集合之间相互不影响，那么就不用startIndex，例如：17.电话号码的字母组合