刘汝佳の树状数组详解

引入

二叉索引树，也叫树状数组是一种便于数组单点修改和区间求和的数据结构
主要根据下标的lowbit值来建树
至于lowbit(x)，则是(x)&(-(x))，也就是一个二进制数从右边数第一个1代表的数

#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))

基础树状数组如下图所示

灰色结点为树状数组中的结点，不难发现，lowbit值相同的结点在同一层上，lowbit值越大越靠近根
我们用一个c数组来存储图中白色长条（最下面结点所代表的区间和就是其本身）的区间和
不难看出
$$c_i=\sum _{j=i-lowbit(i)}^i{a}_j$$
在有了以上理论基础后，我们来研究一下树状数组中的相关操作

树状数组的相关操作

单点修改

当我们要修改树状数组中的其中一个结点时，我们不仅需要改这个单点的值，还要修改c数组的值（也就是白色长条所代表的值），我们发现，这个结点只有其正上方的白色长条覆盖着，所以只需要一边往上爬一边修改沿路的c就可以了，如图所示

代码

void add(int x,int k){
	while(x<=n){
		c[x]+=k;//对沿路的c数组进行修改
		x+=lowbit(x);//往上爬，若是这一操作无法理解的话，推荐读者打一下草
	}
}

求前缀和

为了求一段前缀和，我们可以在图中发现我们需要往左上一直爬并加上沿路的c数组
如图所示

代码

int query(int x){
	int sum=0;
	while(x>0){
		sum+=c[x];//加上沿路的c数组
		x-=lowbit(x);//往左上爬
	}
	return sum;
}

区间修改与区间和

接下来讲解的就是树状数组中比较难理解的区间操作
区间操作需要的是差分
注：接下来的操作推荐读者与笔者一同推算
设$di{f}_1=a_1,di{f}_2=a_2-a_1,di{f}_3=a_3-a_2...di{f}_i=a_i-a_{i-1}$
特别地，$a_0=0$
如果用dif表示出a来，那么可以发现$a_i={\sum }_{j=1}^{i}di{f}_j$
所以得出前缀和
$su{m}_i={\sum }_{j=1}^i{\sum }_{k=1}^{k}di{f}_k$
$=(di{f}_1)+(di{f}_1+di{f}_2)+...+(di{f}_1+di{f}_2+...+di{f}_i)$
$=i\ast di{f}_1+(i-1)\ast di{f}_2+...+1\ast di{f}_i$
$=i\ast (di{f}_1+di{f}_2+...+di{f}_i)-(0\ast di{f}_1+1\ast di{f}_2+...(i-1)\ast di{f}_i)$
$=i\ast {\sum }_{j=1}^{i}di{f}_j-i\ast {\sum }_{j=1}^i(j-1)\ast di{f}_j$
然后分别用树状数组T1,T2存这两项
那么在区间修改时，如何对T1,T2修改呢？举个例子
对序列$1,2,3,4,5$的[2,4]进行+1操作
操作后的序列为$1,3,4,5,5$
原序列的查分序列为$1,1,1,1,1$
而操作后的查分序列为$1,2,1,1,0$
可以看到，只需要更改第$l$项和第$r+1$项即可，再对应到T1,T2的具体含义中，就可以进行修改操作了
区间[l,r]和
$su{m}_r-su{m}_{l-1}$
$$=[r\ast \sum _{j=1}^{r}di{f}_j-r\ast \sum _{j=1}^r(j-1)\ast di{f}_j]-[(l-1)\ast \sum _{j=1}^{l-1}di{f}_j-(l-1)\ast \sum _{j=1}^{l-1}(j-1)\ast di{f}_j]$$

代码

struct BIT{
	static const int M=1e5+5;
	int c[M];
	void add(int x,int k) { while(x<=n) c[x]+=k,x+=lowbit(x); }
	int query(int x) { int sum=0;while(x>0) sum+=c[x],x-=lowbit(x);return sum; }
}T1,T2;
//区间修改
void build(int x,int dif){
	T1.add(x,dif);
	T2.add(x,(x-1)*dif);
}
void interval_add(int l,int r,int k){
	T1.add(l,k),T1.add(r+1,-k);
	T2.add(l,k*(l-1)),T2.add(r+1,-k*(r+1-1));
}
//区间查询
void interval_query(int l,int r){
	return (r*T1.query(r)-(l-1)*T1.query(l-1))-(T2.query(r)-T2.query(l-1));
}

例题

P3374 【模板】树状数组 1

思路

这题的数据还是比较水的，所以笔者直接暴力用前缀和过了

代码

#include
using namespace std;
const int M=1e6+5;
#define int long long
#define lowbit(x) (x)&(-(x))
int n,m;
int c[M];
void add(int x,int k) { while(x<=n) c[x]+=k,x+=lowbit(x); }
int query(int x) { int sum=0;while(x>0) sum+=c[x],x-=lowbit(x);return sum; }
signed main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1,p;i<=n;i++) cin>>p,add(i,p);
	while(m--){
		int if_case;cin>>if_case;
		int x,y,k;
		switch (if_case){
			case 1:cin>>x>>k;add(x,k);break;
			case 2:cin>>x>>y;cout<<query(y)-query(x-1)<<endl;break;//暴力前缀和做法
		}
	}
	return 0;
}

P3368 【模板】树状数组 2

思路

这个题就需要区间操作了，需要的是区间修改
我们因为T1和T2存的都是查分，所以需要加一点操作

$a_i={\sum }_{j=1}^{i}di{f}_j$

所以查询第x个数时直接输出T1的前缀和就行
理论存在，实践开始

代码

#include
using namespace std;
#define int long long
#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
int n,m;
struct BIT{
	static const int M=5e5+5;
	int c[M];
	void add(int x,int k) { while(x<=n) c[x]+=k,x+=lowbit(x); }
	int query(int x) { int sum=0;while(x>0) sum+=c[x],x-=lowbit(x);return sum; }
}T1,T2;
void build(int x,int dif) { T1.add(x,dif),T2.add(x,(x-1)*dif); }
void interval_add(int l,int r,int k){
	T1.add(l,k),T1.add(r+1,-k);
	T2.add(l,k*(l-1)),T2.add(r+1,-k*(r+1-1));
}
int query(int x) { return T1.query(x); }
signed main()
{
	cin>>n>>m;
	int a,c=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a;
		c=a-c;
		build(i,c);
		c=a;
	}
	while(m--){
		int if_case;
		cin>>if_case;
		int x,y,k;
		switch (if_case){
			case 1:cin>>x>>y>>k;interval_add(x,y,k);break;
			case 2:cin>>x;cout<<query(x)<<endl;break;
		}
	}
}

end

参考资料：刘汝佳·《算法竞赛入门经典训练指南》
就这样，树状数组讲解完了，笔者不多赘述
完结撒花