模n加法——元素阶的终极规律

Z6={0,1,2,3,4,5}，模 6 加法的构成的群中，群的阶=？， 元素 5 的阶 |5 |＝？ 。

我们知道，群的阶等于元素个数6，
我们看中的元素{0,1,2,3,4,5}。取其中的元素1，不停地对自身进行模6加法，即对本身进行幂运算。
可得：
5=5
5+5=10
5+5+5=15
5+5+5+5=20
5+5+5+5+5=25
5+5+5+5+5+5=30
故|5|=6
考虑大数字不好计算，让我们通过编程找规律。

/*
模n加法，群的阶=n，元素的阶=最少几次方（几次相加）=本身。
下面来求元素的阶
*/

#include
#include
using namespace std;
int as(int a)
{
	int i, j = 0;
	for (i = 2; i < a; i++)
		if (a % i == 0)
		{
			j = 1; break;
		}
	return j;
}
int main()
{
	int x, y, i;
	int a = 15, b = 4;//a为元素个数和模a加法中的a.b为预留空间
	for (i = 0; i < a; i++)
		cout << setw(b) << i;
	for (y = 2; y <= a; y++)
		//	if(as(y))
	{
		cout << endl << setw(b) << y;
		for (x = 1; x < y; x++)
			for (i = 2; i < y + 2; i++)
				if ((i * x) % y == x)
				{
					cout << setw(b) << i-1; break;
				}
	}
	return 0;
}

运行结果最上方一行为元素，最左方一列为元素个数，其它均为元素的阶。
不难看出：元素的阶=n/（n与元素的最大公约数）
|5|=6/（6与5最大公约数=1）=6