森林中的兔子（力扣）数学思维 JAVA

森林中有未知数量的兔子。提问其中若干只兔子 “还有多少只兔子与你（指被提问的兔子）颜色相同?” ，将答案收集到一个整数数组 answers
中，其中 answers[i] 是第 i 只兔子的回答。

给你数组 answers ，返回森林中兔子的最少数量。

示例 1：

输入：answers = [1,1,2]
输出：5
解释： 两只回答了 “1” 的兔子可能有相同的颜色，设为红色。 之后回答了 “2”
的兔子不会是红色，否则他们的回答会相互矛盾。 设回答了 “2” 的兔子为蓝色。 此外，森林中还应有另外 2
只蓝色兔子的回答没有包含在数组中。 因此森林中兔子的最少数量是 5 只：3 只回答的和 2 只没有回答的。

示例 2：

输入：answers = [10,10,10]
输出：11

提示：

1 <= answers.length <= 1000
0 <= answers[i] < 1000

解题思路：

1、可以考虑使用神器HashMap，但是由于map查表耗费时间为了优化，采用一维数组代替

2、将回答相同的兔子放在一起即回答为i的兔子用nums[i]记录数量

3、思维分析

假设有5只兔子都回答1：
那么其中至少有三种颜色：
前两只回答的为同种颜色白色，后两只为同种颜色黑色，最后一只为灰色
那么兔子数量为 2 * 2 + 1 + 1 = 6 (因为灰色兔子说过还有一只颜色和它一样所以是1 + 1)
可推理得出对于nums[i] = x有：
nums[i] / (i + 1) * (i + 1) 若nums[i] % (i + 1)  != 0 那就还得加上 i + 1

代码：

class Solution {
    public int numRabbits(int[] answers) {
           int nums[] = new int [1000];
           int maxj = 0;
           for(int i = 0; i < answers.length; i ++) {
        	   nums[answers[i]] ++;
               maxj = Math.max(maxj, answers[i]);
           }
           int res = nums[0];
           for(int i = 1; i <= maxj; i ++) {
        	  res = res + nums[i] / (i + 1) * (i + 1);
        	  if(nums[i] % (i + 1) != 0)
        		  res = res + i + 1;
           }
           return res;
    }
}

优化代码：

class Solution {
    public int numRabbits(int[] answers) {
           int nums[] = new int [1000];
           int maxj = 0;
           for(int i = 0; i < answers.length; i ++) {
        	   nums[answers[i]] ++;
               maxj = Math.max(maxj, answers[i]);
           }
           int res = nums[0];
           for(int i = 1; i <= maxj; i ++)  res = res + (nums[i] + i) / (i + 1) * (i + 1);
           return res;
    }
}

利用数学思维向上取整，一步到位

 x / y 向上取整：(x + y - 1) / y
 证明：
 首先x , y 必须是int类型
 x / y = A ....... D (由于x,y都为int那么D必然为0、1、2、3这样的整数且D < y)
 那么 x = A * y + D 带入(x + y - 1) / y中得：
 (A * y + y + D - 1) / y
 = [(A + 1) * y + (D - 1)] / y
 由于D为整数且只要D不为0，就能向上取整。 

缺点：容易爆掉int，但本题不会