B3637 最长上升子序列

最长上升子序列

题目描述

这是一个简单的动规板子题。

给出一个由 $n(n\le 5000)$ 个不超过 $10^6$ 的正整数组成的序列。请输出这个序列的最长上升子序列的长度。

最长上升子序列是指，从原序列中按顺序取出一些数字排在一起，这些数字是逐渐增大的。

输入格式

第一行，一个整数 $n$，表示序列长度。

第二行有 $n$ 个整数，表示这个序列。

输出格式

一个整数表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

6
1 2 4 1 3 4

样例输出 #1

4

提示

分别取出 $1$、$2$、$3$、$4$ 即可。

分析

状态：设f[i]是以i为结束的最长上升子序列的长度
答案:$ans={\max }_{i=1}^n\{f[i]\}$
这里我们考虑已经求出两个状态：i,j,我们用A数组表示原序列，f数组记录状态，我们加个条件：
$$A[i]<A[j]\text{且}f[i]=f[j]$$
则对于以后的状态，我们更希望从i上转移，所以我们可以保留相同的f值的最小A,即设g[i]，表示f[j]=i时最小的a[j]，那么g数组必定不降,可以二分查找

代码

#include
using namespace std;
const int M=20,N=1e6;
int f[N],g[N],a[N],n;
int main(){
	cin>>n;
	memset(g,0x3f,sizeof g);
	for (int i=0;i<n;i++) cin>>a[i];
	int maxn=0;
	for (int i=0;i<n;i++){
		int k=lower_bound(g+1,g+1+n,a[i])-g;
		f[i]=k;
		maxn=max(f[i],maxn);
		g[k]=a[i];
	}
	cout<<maxn;
	return 0;
}

时间复杂度O(nlogn)