2-4 实变函数之可测函数

2-4 实变函数之可测函数

1.可测函数

1. 有限函数与有界函数
   函数值都是有限实数($\pm \infty$称为非正常实数)的函数称为有限实数。
   例1：$y=\frac{1}{x}$是有限函数但不是有界实数。
   有界函数一定是有限函数
2. 可测函数的定义
   设f(x)是一个定义在可测集$E\subset R^n$的实函数。若对于任何有限实数a,$E[f>a]$都是可测集，则称$f(x)$是是定义在E上的可测函数。
3. 可测函数的等价表达
   $E$是一个可测集，$E_1$是$E$的子集，则若$E_1$可测，那么$E-E_1$也可测。
   详情参照:2-3 实变函数之测度论第二节定理第5条
   (1). 定义中$E[f>a]$改为$E[f\ge a]$.
   (2). 定义中$E[f>a]$改为$E[f<a]$.
   (3). 定义中$E[f>a]$改为$E[f\le a]$.
   (4). 若$f$有限，且$a<b$,定义中$E[f>a]$改为$E[a<f\le b]$.
4. 连续函数
   通俗的讲，$x_0$任意邻域中对$f(x)$有定义的点的函数值都包含在$f(x_0)$的邻域里。
5. 简单函数
   在互不相交且和为全集的子集中都是常数的函数称为简单函数，如Dirichlet函数
6. 函数的正部和负部
   正部：$f^{+}=max(f(x),0)$
   负部：$f^{-}=-min(f(x),0)$
   $f(x)=f^{+}-f^{-},|f(x)|=f^{+}+f^{-}$

2.叶果洛夫定理

几乎处处收敛的可测函数，“基本上”都是一致收敛的（即不一致收敛点组成0测度集）

3.鲁津定理

几乎处处有限的可测函数，“基本上”是连续函数（即不连续点组成0测度集）

4.依测度收敛

$\forall ϵ>0,\sigma >0,\exists N(ϵ,\sigma )>0,s.t.n\ge N(ϵ,\sigma )$时,$mE[|f_n-f|\ge \sigma ]<ϵ$
称$f_n$依测度收敛致$f$，记作$\{f_n\}⟹f$

换句话说，当$n>N(ϵ,\sigma )$时，$f_n-f$的绝对值大于给定的任意小的正数的集合的测度为0.

5.里斯定理

$\{f_n\}⟹f$，存在$\{f_n\}$的子列几乎处处收敛致$f$

6.Lebesgue定理

若$E$的测度有限，$\{f_n\}$有限可测,且$\{f_n\}$几乎处处收敛致$f$,则
$\{f_n\}⟹f$。