Java B组蓝桥杯第十届国赛：切割

试题 C: 切割
本题总分：10 分
【问题描述】
在 4×4 的方格矩阵中画一条直线。则直线穿过的方格集合有多少种不同的
可能？
这个里直线穿过一个方格当且仅当直线将该方格分割成面积都大于 0 的两
部分。
【答案提交】
这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一
个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

这个题网上没有找到大佬解决，硬着头皮自己试了半天。最后采用坐标系，进行筛选判断。

看图，分成16格，每个格子给它起个名字，任意起名字。

首先，它肯定是有旋转性质的，我们先求出一边的结果数，就能直接得出4边的多少种。我把每一格分成100刻度，当然分的更多更精确。

这里先求直线从底边进入的情况：

该情况又分为三种：从哪个边出去。

（1）从最上边出去：如图得到两个交点（x1,y1）,（x2,y2）

判断该直线上每一点坐标在哪个区间，然后收集格子上的字符，采用判重只收集一次。

收集完之后存入set，累计数量。

任意一点坐标怎么求，这都是数学的基本公式了，利用y轴刻度  y 作为参照（0~400），那么对应x坐标为：double x = x2 + (x1 - x2) / 400 * y;

最外层遍历x1(0~400)，x2(0~400)。时间复杂度n^3。

（2）从最左边出去

固定x1=0不变，然后x2和y均为（0~400）遍历，收集，和（1）类似

（3）从最右边出去

固定x1=400不变，然后x2和y均为（0~400）遍历，收集，和（2）一样

最后得到结果：

1 15 159 159d 2 21 215 2159 2159d 259d 2659d 259 2659 25 269d 3 32 321 3215 325 3265 32659 32659d 3269d 326a9d 36a9d 376a9d 3269 369 3659 4 42 432 4321 43215 4325 43265 432659 43659 43769 4376a9 4376a9d 437659 4365 4376ad 47ad

476a9d 47a9d 26a9d 437aed 47aed 487baed 4376aed 36aed 26ad 26aed 37aed 26ae 326ae 36ae 376ae 37ae 437bae 47bae 487bae 159de 159e 159ae 15ae 37bae 156ae 16ae 126ae 487be 487bfe 437be 47be 437bfe 47bfe 37be 37bfe 48bfe 37bf 437bf 47bf 487bf 48bf 15aef 156aef 126aef

26aef 26af 26abf 26bf 48cbf 16aef 267bf 47baed 437baed 376ad 376aed 326ad 36ad 326aed 27bf 237bf 126af 126abf 16af 156af 16abf 156abf 48cf 48cgf 48cg 156abfg 16abfg 126abfg 126bfg 26bfg 267bfg 237bfg 37bfg 37bg 37bcg 37cg 27bfg 378cg 1267bfg 38cg 348cg 237bg 237bcg

27bg 267bg 27bcg 267bcg 1267bg 1267bcg 16bfg 23 1234 12348 1238 12378 1278 12678c 1267c 1267bc 167bcg 16bcg 16bg 13 123 1278c 12378c 234 2348 238 2378 2378c 278c 27c 237c 237cg 2378cg 34 348 38 378c 38c 348c 48 48c

我的结果大概就这么多，这只是从底边进入的直线得到的。

统计情况：

统计以某字符开头的数量 即，从底边哪个格子进入
1	44
2	43
3	43
4	44

我大概用图测试了上面很多的结果，都是ok的，而且是没有重复的。

一个边结果一共为174种可能

那么四个边就为696种。

那接着我们再来考虑重复的结果：

我们拿出单个直线来分析，就拿图上的那根直线来看。它经过的那个格子的集合，只有两种的情况会存在，那就是直线  下进上出   和   上进下出。

那我们推广到任意一条直线，结论就是：

任意一条直线，其出现的情况只有两种，那就是分别从直线两端进入到另一端出去。两种情况经过的集合是一种集合。

也就是说在696种结果中，如果不分方向，按集合来算的话，那就是有一半结果是重复的。

因此得到结果348种。

一顿分析猛如虎，我也不知道答案对不对，但思路应该是没啥大问题的吧

代码：整个代码就是在计算每条直线上每个点所在的位置，记录整个直线经过的格子集合，以字符串的形式存放起来，最后统计结果。似乎没啥好看的

import java.util.HashSet;
import java.util.Set;

public class Main {

    //方格字符标记
	String[][] ss = { { "1", "2", "3", "4" }, { "5", "6", "7", "8" }, { "9", "a", "b", "c" }, { "d", "e", "f", "g" } };
    //结果集合
	Set set = new HashSet();
    
	int a = 0, b = 0, c = 0, d = 0;

	public Main() {
        //遍历x1,x2
		for (int x1 = 0; x1 <= 400; x1++) {
			for (int x2 = 0; x2 <= 400; x2++) {
				// System.out.println("x1="+x1+",x2="+x2);
				if (x1 == 0 || x1 == 400) {
					// 固定x1，直线从侧边出去的结果
					getlist4(x1, x2);
				}
				// 固定y=400，直线从顶部出去的数量结果
				getlist(x1, x2);
			}
		}
		System.out.println(a);
		System.out.println(b);
		System.out.println(c);
		System.out.println(d);
		System.out.println(set.size());

	}

	// 分别统计字符开头的数据，用于观察
	public void count(String s) {
		if (s.startsWith("1")) {
			a++;
		} else if (s.startsWith("2")) {
			b++;
		} else if (s.startsWith("3")) {
			c++;
		} else if (s.startsWith("4")) {
			d++;
		}
	}

	// 求顶部结果
	public void getlist(double x1, double x2) {
		String s = "";
		for (int i = 0; i < 400; i++) {
			double x = x2 + (x1 - x2) / 400 * i;
			if (x > 0 && x < 100) {// 第一格内
				if (s.equals("") || !s.substring(s.length() - 1, s.length()).equals(ss[i / 100][0])) {
					s += ss[i / 100][0];
				}
			} else if (x > 100 && x < 200) {// 第二格内
				if (s.equals("") || !s.substring(s.length() - 1, s.length()).equals(ss[i / 100][1])) {
					s += ss[i / 100][1];
				}
			} else if (x > 200 && x < 300) {// 第三格内
				if (s.equals("") || !s.substring(s.length() - 1, s.length()).equals(ss[i / 100][2])) {
					s += ss[i / 100][2];
				}
			} else if (x > 300 && x < 400) {// 第四格内
				if (s.equals("") || !s.substring(s.length() - 1, s.length()).equals(ss[i / 100][3])) {
					s += ss[i / 100][3];
				}
			}

		}
		// 存起来
		if (!s.equals("") && !set.contains(s)) {
			// System.out.println(s);
			count(s);
			set.add(s);
		}

	}

	// 求两侧边结果
	public void getlist4(double x1, double x2) {
		String s = "";
		// 这里x1,x2固定时，y在变化，
		for (int j = 0; j < 400; j++) {
			//每次变化都是不一样的直线
			for (int i = 0; i < j; i++) {
				double x = x2 + (x1 - x2) / j * i;
				if (x > 0 && x < 100) {// 第一格内
					if (s.equals("") || !s.substring(s.length() - 1, s.length()).equals(ss[i / 100][0])) {
						s += ss[i / 100][0];
					}
				} else if (x > 100 && x < 200) {// 第二格内
					if (s.equals("") || !s.substring(s.length() - 1, s.length()).equals(ss[i / 100][1])) {
						s += ss[i / 100][1];
					}
				} else if (x > 200 && x < 300) {// 第三格内
					if (s.equals("") || !s.substring(s.length() - 1, s.length()).equals(ss[i / 100][2])) {
						s += ss[i / 100][2];
					}
				} else if (x > 300 && x < 400) {// 第四格内
					if (s.equals("") || !s.substring(s.length() - 1, s.length()).equals(ss[i / 100][3])) {
						s += ss[i / 100][3];
					}
				}
			}
			// 存起来
			if (!s.equals("") && !set.contains(s)) {
				// System.out.println(s);
				count(s);
				set.add(s);
			}
			s = "";
		}

	}

	public static void main(String[] args) {
		new Main();

	}

}