非线性规划（scipy.optimize.minimize）
1、minimize() 函数介绍
在 python 里用非线性规划求极值，最常用的就是 scipy.optimize.minimize()。
[官方介绍点这里](Constrained minimization of multivariate scalar functions)
使用格式是：
scipy.optimize.minimize(fun, x0, args=(), method=None, jac=None, hess=None, hessp=None, bounds=None, constraints=(), tol=None, callback=None, options=None)
其中：
fun：目标函数，返回单值，
x0：初始迭代值，
args：要输入到目标函数中的参数
method：求解的算法，目前可选的有
‘Nelder-Mead’
‘Powell’
‘CG’
‘BFGS’
‘Newton-CG’
‘L-BFGS-B’
‘TNC’
‘COBYLA’
‘SLSQP’
‘dogleg’
‘trust-ncg’
以及在 version 0.14.0，还能自定义算法
以上算法的解释和相关用法见 minimize 函数的官方说明文档，一般求极值多用 'SLSQP'算法
jac：目标函数的雅可比矩阵。可选项，仅适用于CG，BFGS，Newton-CG，L-BFGS-B，TNC，SLSQP，dogleg，trust-ncg。如果jac是布尔值并且为True，则假定fun与目标函数一起返回梯度。如果为False，将以数字方式估计梯度。jac也可以返回目标的梯度。此时，它的参数必须与fun相同。
hess，hessp：可选项，目标函数的Hessian（二阶导数矩阵）或目标函数的Hessian乘以任意向量p。仅适用于Newton-CG，dogleg，trust-ncg。
bounds：可选项，变量的边界（仅适用于L-BFGS-B，TNC和SLSQP）。以（min，max）对的形式定义 x 中每个元素的边界。如果某个参数在 min 或者 max 的一个方向上没有边界，则用 None 标识。如（None, max）
constraints：约束条件（只对 COBYLA 和 SLSQP）。dict 类型。
type : str， ‘eq’ 表示等于0，‘ineq’ 表示不小于0
fun : 定义约束的目标函数
jac : 函数的雅可比矩阵 (只用于 SLSQP)，可选项。
args : fun 和 雅可比矩阵的入参，可选项。
tol：迭代停止的精度。
callback(xk)：每次迭代要回调的函数，需要有参数 xk
options：其他选项
maxiter : 最大迭代次数
disp : 是否显示过程信息
以上参数更具体的介绍见官网相关页面。
2、talk is cheap, show me the code !
好的，满足你！
1）无约束求极值
计算 1/x+x 的最小值
from scipy.optimize import minimize
import numpy as np
def fun(args):
a=args
v=lambda x:a/x[0] +x[0]
return v
args = (1) #a
x0 = np.asarray((2)) # 初始猜测值
res = minimize(fun(args), x0, method='SLSQP')
print(res.fun)
print(res.success)
Out[78]:
2.0000000815356342
True
2）有约束求极值
2-1）计算 (2+x1)/(1+x2) - 3x1+4x3 的最小值 x1,x2,x3 都处于[0.1, 0.9] 区间内。
def fun(args):
a,b,c,d = args
v = lambda x: (a+x[0])/(b+x[1]) -c*x[0]+d*x[2]
return v
def con(args):
# 约束条件 分为eq 和ineq
# eq表示 函数结果等于0 ； ineq 表示 表达式大于等于0
x1min, x1max, x2min, x2max, x3min, x3max = args
cons = ({'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x[0] - x1min},\
{'type': 'ineq', 'fun': lambda x: -x[0] + x1max},\
{'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x[1] - x2min},\
{'type': 'ineq', 'fun': lambda x: -x[1] + x2max},\
{'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x[2] - x3min},\
{'type': 'ineq', 'fun': lambda x: -x[2] + x3max})
return cons
# 定义常量值
args = (2,1,3,4) # a,b,c,d
# 设置参数范围/约束条件
args1 = (0.1,0.9,0.1, 0.9,0.1,0.9) # x1min, x1max, x2min, x2max
cons = con(args1)
# 设置初始猜测值
x0 = np.asarray((0.5,0.5,0.5))
res = minimize(fun(args), x0, method='SLSQP',constraints=cons)
print(res.fun)
print(res.success)
print(res.x)
Out[79]：
-0.773684210526435
True
[0.9 0.9 0.1]
2-2）解决以下优化问题
m i n i m i z e x [ 0 ] , x [ 1 ] l o g 2 ( 1 + x [ 0 ] × 2 3 + l o g 2 x [ 1 ] × 3 4 ) minimize_{x[0], x[1]}log_2(1+\frac{x[0]\times2}{3}+log_2\frac{x[1]\times3}{4}) minimizex[0],x[1]log2(1+3x[0]×2+log24x[1]×3)
s.t. :
l o g 2 ( 1 + x [ 0 ] × 2 5 ) ≥ 5 log_2(1+\frac{x[0]\times2}{5})\geq 5 log2(1+5x[0]×2)≥5
l o g 2 ( 1 + x [ 0 ] × 6 4 ) ≥ 5 log_2(1+\frac{x[0]\times6}{4})\geq 5 log2(1+4x[0]×6)≥5
# 目标函数
def fun(a,b,c,d):
def v(x):
return np.log2(1+x[0]*a/b)+np.log2(1+x[1]*c/d)
return v
#限制条件函数
def con(a,b,i):
def v(x):
return np.log2(1 + x[i] * a / b)-5
return v
# 定义常量值
args = [2, 1, 3, 4] # a,b,c,d
args1 = [2, 5, 6, 4]
# 设置初始猜测值
x0 = np.asarray((0.5, 0.5))
#设置限制条件
cons = ({'type': 'ineq', 'fun': con(args1[0],args1[1],0)},
{'type': 'ineq', 'fun': con(args1[2],args1[3],1)},
)
res = minimize(fun(args[0], args[1], args[2], args[3]), x0, constraints=cons)
print(res.fun)
print(res.success)
print(res.x)
Out[80}：
11.329796332293162
True
[77.5 20.66666658]
参考资料：
1、python 非线性规划（scipy.optimize.minimize）
2、scipy.optimize优化器的各种使用
3、Scipy优化scipy.optimize.minimize