“蔚来杯“2022牛客暑期多校训练营10-H Wheel of Fortune

原题题面：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/33195/H

题目大意

你的血量为$A(0<A\le 10^7)$，拥有最多$7$个随从，血量分别为$a_i,a_2,\cdot \cdot \cdot ,a_7$($a_i\ge 0$，若随从不存在则$a_i=0$，$0\le a_i\le 10^7$)。
同时，你对手的血量为$B(0<B\le 10^7)$，拥有最多$7$个随从，血量分别为$b_i,b_2,\cdot \cdot \cdot ,b_7$($b_i\ge 0$，若随从不存在则$b_i=0$，$0\le b_i\le 10^7$)。

现在触发了燃烧之路，其效果等价于以下随机过程：

• 重复以下操作直到$A\le 0$或$B\le 0$：从$A,B,a_1,a_2,\cdot \cdot \cdot ,a_7,b_1,b_2,\cdot \cdot \cdot ,b_7$中随机选择一个大于零的元素$x$，然后$x⟵x-10$。
• 如果$B\le 0$，则你获胜；否则你的对手获胜；

求你获胜的概率（答案对$998244353$取模）。

解题思路

首先，对于每一个随从的攻击不影响最终获胜的概率，对任何随从的攻击相当于白费一次机会。

为了方便起见设$a=\lceil \frac{A}{10}\rceil ,b=\lceil \frac{B}{10}\rceil$，当操作回合数为$b$时$A$获胜的概率为$\frac{1}{2^b}$，$b+1$时，概率为之前$b$个取了$b-1$个，这次又取了$1$个，概率为$\frac{C_b^{b-1}}{2^b}\times \frac{1}{2}$，$b+2$时，概率为$\frac{C_{b+1}^{b-1}}{2^{b+1}}\times \frac{1}{2}$······以此类推，第$b+i$时，概率为$\frac{C_{b+i-1}b-1}{2^{b+i-1}}\times \frac{1}{2}=\frac{C_{b+i-1}b-1}{2^{b+i}}$，所以A总的获胜概率为：
$$P=\sum _{i=0}^a\frac{C_{b+i-1}^{b-1}}{2^{b+i}}$$

代码实现

#include
using namespace std;
const int mod=998244353,N=16e6+5;
int A,B,a[10],b[10],n=7;
int dp[15],fac[N],inv[N],res,cnt,_a,_b,ans;
int fpow(int x,int p){for(res=1;p;x=1ll*x*x%mod,p>>=1)if(p&1)res=1ll*res*x%mod;return res;}
int C(int a,int b){
	return 1ll*fac[b]*fpow(fac[a],mod-2)%mod*fpow(fac[b-a],mod-2)%mod;
}
void init(){//预处理阶乘
	fac[0]=fac[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;i++)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
}
int main(){
	init();
	cin>>A;A=(A-1)/10+1;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
	cin>>B;B=(B-1)/10+1;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>b[i];
	for(int i=0;i<A;i++){
		ans=(1ll*ans+1ll*C(B-1,B+i-1)*fpow(fpow(2,B+i),mod-2)%mod)%mod;
	}
	cout<<ans;
}