2023深圳杯(东三省)数学建模C题思路 - 无人机协同避障航迹规划

1 赛题

C题 无人机协同避障航迹规划

平面上A、B两个无人机站分别位于半径为500 m的障碍圆两边直径的延长线上，A站距离圆心1 km，B站距离圆心3.5 km。两架无人机分别从A、B两站同时出发，以恒定速率10 m/s飞向B站和A站执行任务。飞行过程中两架无人机必须避开障碍圆、并且不得碰面（即两架无人机的连线必须保持与障碍圆处于相交状态）。无人机的转弯半径不小于30 m。请建立数学模型，解决以下问题：

问题1 要求两架无人机中第一个到达目的站点的用时最少，给出两架无人机的飞行航迹方案。

问题2 要求两架无人机中第二个到达目的站点的用时最少，给出两架无人机的飞行航迹方案。

问题3 当B站点到圆心的距离变化(其他参数保持不变)时，问题1和问题2中的最优航迹会发生什么变化？

问题4 当B机的恒定速率在[10,30] m/s内变化(其他参数保持不变)时，问题1和问题2中的最优航迹会如何变化？

问题5 当B机的恒定速率在[10,50] m/s内变化、B站点到圆心的距离在[1,10] km内变化(其他参数保持不变)时，问题2中的最优航迹会如何变化？

2 赛题分析

解析

A题的开放性比较低，但题目比较明确，本质上就是对数据进行数据挖掘，进行关联分析，方式可以使用聚类等手段；A君提醒大家，如何对附件中的数据进行量化很重要，会直接影响到解题的结果。

B题图像隐写模型是本次深圳杯最简单的一题，常用的图像隐写模型有LSB和F5系列算法，最终只要实现把水印写入到图片中提交上去即可，当然要记得提高对应提取水印的工具或者程序。

C 还是老样子，动态协调与规划的题目，一样构建方程，在约定条件下求最优解，可以用退火算法或者蚁群算法。

D题的难度不高，实际上具体的创伤模型已经有很多相关资料了，D题开放度比较高，本质上大家只要收集现有的资料，通过过运动生物力学方法，分析创伤部位对创伤行为生物力学指标的影响就行，A君比较推荐选这道题。

3 解题思路

问题1：要求两架无人机中第一个到达目的站点的用时最少，给出两架无人机的飞行航迹方案。

在这个问题中，我们需要找到一种飞行航迹方案，使得两架无人机中第一个到达目的站点的用时最少。由于两架无人机的航行速度相同且不得碰面，我们可以考虑让两架无人机绕障碍圆的两侧分别飞行。
对于A站和B站，我们需要确定两架无人机分别从哪一侧绕障碍圆飞行。

1. 由于A站距离圆心较近，相对来说绕障碍圆的弧长较短，我们可以让A站的无人机绕障碍圆较近的一侧飞行。
2. B站距离圆心较远，相对来说绕障碍圆的弧长较长，我们可以让B站的无人机绕障碍圆较远的一侧飞行。
   通过这种安排，两架无人机可以保持一定的距离，避免碰面，并且因为A站的无人机绕行的距离较短，它可以更快地到达目的地。

问题2：要求两架无人机中第二个到达目的站点的用时最少，给出两架无人机的飞行航迹方案。

在这个问题中，我们需要找到一种飞行航迹方案，使得两架无人机中第二个到达目的站点的用时最少。由于两架无人机的航行速度相同且不得碰面，我们可以考虑让两架无人机绕障碍圆的两侧分别飞行。
对于A站和B站，我们需要确定两架无人机分别从哪一侧绕障碍圆飞行。

1. 由于A站距离圆心较近，相对来说绕障碍圆的弧长较短，我们可以让A站的无人机绕障碍圆较远的一侧飞行。
2. B站距离圆心较远，相对来说绕障碍圆的弧长较长，我们可以让B站的无人机绕障碍圆较近的一侧飞行。
   通过这种安排，两架无人机可以保持一定的距离，避免碰面，并且因为B站的无人机绕行的距离较短，它可以更快地到达目的地。

问题3：当B站点到圆心的距离变化(其他参数保持不变)时，问题1和问题2中的最优航迹会发生什么变化？

在问题1和问题2的解决方案中，我们假设了A站和B站的位置关系不变。现在我们将改变B站到圆心的距离，看看最优航迹会有什么变化。
当B站点到圆心的距离增加时，B站相对于障碍圆的位置变得更远。由于我们在问题1和问题2中选择飞行方案时考虑了A站和B站相对于障碍圆的位置关系，因此最优航迹可能会发生变化。
1.对于问题1，如果B站点到圆心的距离变得更远，那么B站的无人机需要绕障碍圆较长的弧长飞行。这可能导致B站的无人机需要更长时间才能到达目的地，从而使得问题1中第一个到达目的站点的用时增加。相应地，A站的无人机可能会更早到达目的地。
2. 对于问题2，如果B站点到圆心的距离变得更远，那么B站的无人机需要绕障碍圆较远的一侧飞行。这可能导致B站的无人机需要更长时间才能到达目的地，从而使得问题2中第二个到达目的站点的用时增加。相应地，A站的无人机可能会更早到达目的地。
综上所述，当B站点到圆心的距离变化时，问题1和问题2中的最优航迹可能发生变化。具体的变化趋势将取决于B站点到圆心的距离变化的幅度和关系。

篇幅有限，详细文档放在文档里

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