数学建模层次分析法

层次分析法

层次分析法关键还是在于一致矩阵

什么是一致矩阵

一致矩阵的性质是：

• 若矩阵中每个元素 并且
  $$aij\ast aji=1$$
  则我们称该矩阵为正互反矩阵

• 若正互反矩阵满足
  $$aij\ast ajk=aik$$
  我们称其为一致矩阵

这就是一致矩阵的性质

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在正常计算中，我们创建的是正互反矩阵 ，而正互反矩阵到一致矩阵是需要检验的 称之为一致性检验

层次分析法中 有如下三种计算权重方法

• 算术平均法求权重

  • 第一步将判断矩阵按照列的方式 每个元素/其所在列的和（归一化）
  • 第二步将刚才操作好的矩阵 各列相加 按行求和的操作
  • 第三步就是直接进行将每个想加后的元素/n（n是评价的参数的个数->即表示维度）

  示例如下
  

  先归一化操作
  $$a11=a11/\sum _{k=1}^{n}a1k$$

  $$a1=\sum _{k=1}^{n}an1$$

  第三步
  $$weighti[k]=\frac{ak}{n}$$

• 第二种几何平均法算权重

  • 对矩阵的元素按照行相乘得到一个新的列向量
  • 将新的向量的每一个分量 进行开n此放
  • 最后对该列向量进行归一化处理 即可以得到权重向量

  ​ 每个数值 把自己行的数全部乘上一遍 扩展大这一列所有元素
  $$ai1=\sqrt[n]{\prod _{k=1}^{n}aik}$$
  ​ 这样的权重结果计算
  $$ai1=\frac{\sqrt[n]{{\prod }_{k=1}^{n}aik}}{{\sum }_{k=1}^n\sqrt[n]{{\prod }_{k=1}^{n}aik}}$$

  和上面的的最后权重计算是相同的

• 第三种特征值法计算权重

  对于一致矩阵，任意两行是对应成比例的，所以它的特征值只有一个不为0 其余皆为0

  且当这个特征值为n的时候 对应的特征向量为
  $$\left\{\frac{1}{a11},\frac{1}{a12},...,\frac{1}{a1n}\right\}T$$

  假设一致性已经通过，则需要按照如下步骤进行计算

  • 求出矩阵的最大特征值 和对应的特征向量
  • 对求出的特征向量进行归一化 得到需要的权重值

• 由上面三种方法我们可以得到三个权重数值

  其结果 我们可以选择其中的一种权重来进行计算我们的评价参数